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数学分析在高等代数中的某些应用_数学分析和高等代数是数学几 第１７卷第３期 河南教育学院学报（自然科学版） Ｖ０１．１７Ｎｏ．３２００ ８年９月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｎａｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ） Ｓｅｐ．２００８ 数学分析在高等代数中的某些应用 王莲花１，鞠红梅１，李战国２ （１．北京物资学院信息学院，北京１０１１４９；２．河南农业大学信息管理学院，河南郑州４５０００２） 摘要：高等代数中的某些问题，若用代教学的方法解决起来可能相当繁琐，但若结合数学分析的方法，则问题往往会迎刃而解．该文使用数学分析中的函数连续性和无穷区间的广义积分知识解决某些矩阵问题和二次型问题． 关键词：连续函数；广义积分；矩阵；二次型中圈分类号：０１５１；０１７１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７—０８３４（２００８）０３—００１５—０４ ｌ 函数连续性在解决矩阵问题中的应用当Ａ为奇异矩阵时，对一切充分小的ｔ＞０。矩阵命题１设Ａ是一个儿×，ｌ矩阵，则 Ａ＋坦为非奇异矩阵，由上述已证结论有 （１）除有限个值外，Ａ＋堪为非奇异矩阵（ｔ为数 （（Ａ＋￡Ｅ）‘）’＝ｌＡ＋ｔＥ ８‘２（Ａ＋ｔＥ）， 域Ｐ中的元素）； 上式矩阵中的每个元素均为ｔ的连续函数。所以令 （２）一定存在５＞０，使得对一切ｔＥ（０，∞，Ａ＋ｔ－＋０＋，得 堀为非奇异矩阵． （Ａ‘）‘＝ＩＡＩ”２Ａ． 证明 （１）记八ｔ）＝ＩＡ＋腰Ｉ＝Ｉ垣一（一Ａ）Ｉ， 例２ 设Ａ，曰是儿×ｎ矩阵，Ａ‘为Ａ的伴随矩则，（ｔ）是关于ｔ一元ｎ次多项式．由代数基本定理阵，贝０（ＡＢ）‘＝Ｂ’Ａ’．‘２１ 知，矩阵（一Ａ）在数域Ｐ中至多有厅个特征根Ａ．，证明 当Ａ，Ｂ均为非奇异矩阵时，则ＡＢ也是 Ａ：，…，Ａ。，因此。除有限个特征根外，Ａ＋堀为非奇非奇异矩阵。于是有 异矩阵． （ＡＢ）’＝ＩＡＢＩ（ＡＢ）“ （２）取６为矩阵（一Ａ）非零特征根的绝对值或＝（Ｉ曰１日“）（Ｉ Ａ Ａ“）＝Ｂ’Ａ’． 模的最小值，则对于任意ｔＥ（０，６），Ａ＋坦是非奇异当Ａ，Ｂ至少有一个为奇异矩阵时，由命题１知，矩阵． 对一切充分小的ｔ＞０，矩阵Ａ＋堀和曰＋ｔＥ均为非例１ 证明：（Ａ‘）‘＝Ｉ Ａ Ｉ”１Ａ，其中Ａ是ｎ×ｎ 奇异矩阵，由上述已证结论有 矩阵（ｎ＞２）．‘１１ （（Ａ＋ｔＥ）（曰＋ｔＥ））’＝（曰＋ｔＥ）’（Ａ＋ｔＥ）‘，证明当Ａ为非奇异矩阵时，由Ａ’＝Ｉ ＡＩＡ一 上式矩阵中的每个元素均为ｔ的连续函数，所以令ｔ知 一０＋。得 （Ａ’）‘＝ＩＡ‘ｌ（Ａ‘）卅 （ＡＢ）’＝Ｂ‘Ａ‘． ＝ＩＩＡＡ－１ Ｉ（Ｉ ＡＩ Ａ＿１）．１ 例３设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ都是ｎ×１１，矩阵，且ＡＣ＝ ＝Ｉ Ａ…Ａ。１ ｌ击（Ａ。１）。１ ＣＡ．证明： Ａｃ 曰ｌ：ｌＡＤ—ｃ曰１． Ｄ ＝Ｉ ＡＩ“ＩＡｌ一１ ｉ—：；ｉｊ．Ａ＝Ｉ Ａ ｌ４—２Ａ? 该题是文献［１］中补充题６的进一步扩充，即 收稿日期：２００８—０２—２８ 基金项目：北京物资学院教育教学改革资助项目 作者简介：王莲花（１９“一），女。河南宁陵人，北京物资学院副教授．主要从事代数教学与研究 ?１５? 去掉条件Ｉ Ａ Ｉ≠０． 证明 当Ｉ Ａ Ｉ≠０时，由于 ［一三一。：］［三三）（三一：１Ｂ）＝ （三。一飘）， 两边取行列式，得 ：三．。：ｌｌ三三ｌｌ三，一：１曰ｌ＝Ａ Ｄ 。一飘Ｉ． 因ｌ一三一。：Ｉ＝，和ｌ三一：１日ｌ＝１，Ｊｔ ＡＣ＝ ＣＡ。则 ｌＡ曰｝：ｌ ＡｌＩＤ—ｃＡ。Ｂｌ：ｌ ＡＤ—ＡｃＡ—Ｂｌ Ｃ ＤＩ ＝Ｉ＾Ｄ—Ｃ曰１． 当ｌ Ａ ｌ＝０时，由命题１，存在６＞０，使得Ａ＋ 腰为非奇异矩阵，又ＡＣ＝ＣＡ，则（Ａ＋ｔＥ）Ｃ＝Ｃ（Ａ＋ｔＥ），由已证的结论知 Ａ＋‘Ｅ Ｃ 日ｌ：Ｉ（Ａ＋￡Ｅ）Ｄ—ｃ曰１． Ｄ 由于上式两端是