球坐标系下三角函数公式.doc

球坐标系下三角函数公式 球坐标系下A点坐标为（r1，θ1，φ1），B点坐标为（r2，θ2，φ2）, A到坐标系原点o（0，0，0）连线与B到坐标系原点o连线夹角为α，则cosα=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cos(φ1-φ2) 证明： A（r1，θ1，φ1）在XOY平面的投影为C， B（r2，θ2，φ2）在XOY平面的投影为D， 连接CD，在三角形OCD中 CD2= r12sin2θ1+ r22sin2θ2+2 r1 r2sinθ1sinθ2cos(φ1-φ2) 作B点到AC的垂线，垂足为E，BCDE为长方形，BE=CD，BD=EC AE=AC-EC=AC-BD= r1cosθ1+ r2cosθ2 在三角形OAB中 AB2= r12+ r22+2 r1 r2cosα 在三角形AEB中AB2=AE2+BE2=AE2+CD2 也就是 r12+r22+2r1r2cosα＝(r1cosθ1+r2cosθ2)2+r12sinθ1+r2sin2θ2 +2r1r2sinθ1sinθ2 cos(φ1-φ2) 化简得cosα= cosθ1 cosθ2+ sinθ1 sinθ2 cos(φ1-φ2) 证毕 推广到一般坐标形式，设C点坐标为（r3,θ3, φ3）, 则三棱锥OABC中， |AB|2= r12+ r22+2 r1 r2cosα12 |AC|2= r12+ r32+2 r1 r3cosα13 |BC|2= r22+ r32+2 r2 r3cosα23 |AC|2+|BC|2+2|AC||BC|cosα=|AB|2 其中α是AC与BC夹角，α12是OA与OB夹角，α13是OA与OC夹角，α23是OB与OC的夹角。 利用上面球坐标系公式 cosα12=cosθ1cosθ2+ sinθ1sinθ2cos（φ1-φ2） cosα13=cosθ1cosθ3+ sinθ1sinθ3cos（φ1-φ3） cosα23=cosθ2cosθ3+ sinθ2sinθ3cos（φ2-φ3） 于是 cosα＝( r1 r2cosα12-r1r3cosα13-r2r3cosα23)/|AC||BC| 这是一般情况下，AC与BC夹角的余弦公式。当C点与原点重合时， cosα= cosθ1 cosθ2+ sinθ1 sinθ2 cos(φ1-φ2)