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第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 3 页 幂级数 基本内容 第十四章、幂级数 1.若幂级数在处收敛，则对满足不等式的任何，幂级数都收敛且绝对收敛. （ ） 2. 若幂级数在处发散，则对满足不等式的任何，幂级数发散. （ ） 3. 幂级数的收敛域是以原点为中心的区间. （ ） 4. 幂级数的收敛域是以点为中心的区间. （ ） 5. 幂级收敛区间长度的一半称为收敛半径。（ ） 6.收敛半径是使幂级数收敛的那些点的绝对值的上确界。（ ） 7.若收敛半径，则仅在处收敛。（ ） 8. 若收敛半径，则在上收敛。（ ） 9. 若收敛半径，则在上收敛。（ ） 10. 若收敛半径，则在上收敛。（ ） 11. 幂级数的收敛半径，则对一切满足不等式的，幂级数发散. （ ） 12. 幂级数的收敛半径，则在处可能收敛也可能发散。（ ） 13. 幂级数的收敛半径为，称为为收敛区间。（ ） 14. 幂级数的收敛区间与收敛域可能相同，也可能不同。（ ） 15. 若幂级数的收敛半径为（），则在收敛区间内任一点处收敛且绝对收敛。（ ） 16. 若幂级数的收敛半径为（），则在收敛区间内任一闭区间上都一致收敛。（ ） 17. 若幂级数的收敛半径为（），且在（或）时收敛，则在（或）上一致收敛。（ ） 18. 幂级数的和函数是上的连续函数。（ ） 19. 若幂级数在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右（左）连续。（ ） 20. 幂级数与幂级数、具有相同的收敛区间（收敛半径），但是收敛域可能相同，也可能不同。（ ） 21. 若幂级数在收敛区间上的和函数为，若为上任意一点，则在点可导，且。（ ） 22. 若幂级数在收敛区间上的和函数为，若为上任意一点，则在0与之间的这个区间上可积，且 。 （ ） 23. 若幂级数在收敛区间上的和函数为，则在上具有任何阶导数，且可逐项求导任何次。（ ） 24. 若幂级数在点某邻域上的和函数为，则 （ ） 25. 若幂级数在收敛区间上的和函数为，则由在点处的各阶导数所惟一确定。（ ） 26. 若幂级数与在点某邻域内具有相同的和函数，则称这两个幂级数在该邻域相等。（ ） 27. 若幂级数与在点某邻域内相等，则它们同次幂项的系数相等，即（ ） 28. 设在点具有任意阶导数，那么在区间上等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对一切满足不等式的，有 其中是在点处的泰勒公式余项。（ ） 自测题 一、判断题（正确的划√，错误的划×.每小题2分，共20分） 1.幂级数的收敛区域为（ ）. 2．幂级数的收敛域为（ ）. 3．幂级数的收敛域为 （ ）. 若，则的幂级数展开式 （ ）. 5．幂级数的收敛域为（ ）. 6．设幂级数在点 收敛,则正确的是（ ） 幂级数在绝对收敛 幂级数在绝对收敛 幂级数在收敛 幂级数在发散. 7.设幂级数的收敛半径为，则的收敛半径是（ ）. 8.若幂级数，则它的和函数为（ ）. 9.若幂级数 仅在收敛，则其收敛半径为（ ）. 10.若幂级数 在绝对收敛，则其收敛半径为（ ）. 二、判断题（正确的划√，错误的划×.每小题2分，共20分） 1．若幂级数在收敛区间上的和函数为， 为内任意一点，则在可导，且. （ ） 正确 错误 2．若幂级数的收敛半径（0），则在它的收敛区间内任一闭区间上级数都一致收敛. （ ） 正确 错误 3．若幂级数 仅在时绝对收敛，时发散，则其收敛半径为（ ） 正确 错误 4．幂级数 的收敛半径0，和函数在区间存在任意阶导函数，且可逐项微分，逐项微分得