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第四讲 极限环 什么是极限环 轨迹很多情况下趋向一个不动点， 但是有些系统趋向一个闭合周期轨道， 是系统的一个解，但是不是定常解，它附近的轨道趋向它，则是稳定的极限环，否 则是不稳定的， 还有一种从一边趋向它， 而从另一边远离它， 则是半稳定的极限 环。 例子：系统 x x y y x(1 x y(1 x2 x2 y 2 ) y2 ) 这个系统求解平衡点只有一个（ 0,0 ），由特征值 1 i 可以知道为不稳定的焦 点。但是从整体上分析系统的运动，我们会发现有个稳定的周期轨迹围绕着 （ 0,0），这个可以从极坐标很容易发现。 取r 2 x 2 y ， 2 arctan( y / x) ，那么系统化为 r r (1 r 2 ) 1 因此系统就是以恒定的角速度逆时针绕原点（ 0,0）的 r 1 的周期轨道，当然还 有r 0 的原点。稳定性可以看 r 的增长速度，当 0 r 1 ， r 0 ，是增长的，而 r 1 时， r 0 ，是减小的衰减的。 function out1 = lcycle(t,y) out1 = [y(2)+y(1).*(1-y(1).^2-y(2).^2); -y(1)+y(2).*(1-y(1).^2-y(2).^2)]; 1.5 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 例子： 半稳定极限环 x y x(1 y x y(1 x2 x 2 y2 ) y2 ) 这个系统求解平衡点只有一个（ 0,0），不稳定的焦点。但是从整体上分析系统的 运动，取 r 2 x 2 y 2 ， arctan( y / x) ，那么系统化为 r r (1 1 r )2 因此系统就是以恒定的角速度逆时针绕原点（ 0,0）的 r 1 的周期轨道，当然还 有r 0 的原点。稳定性可以看 r 的增长速度，当 0 r 1 ， r 0 ，是增长的，而 r 1 时， r 0 ，还是增长的，因此是半稳定。 定义：对于单位圆上任一点，经过 2pi 个单位重新回到此点，园外和园内不同点 也经过不同时间到达单位圆， 考虑时间趋向正无穷， 那么这些点所成的集合称为 极限集（希腊字母最后一个字母） ，如果时间趋向负无穷，其集合称为 极限 集。 庞加莱（ Poincare ）映射 到该点称为首次返回映射或者庞加莱映射。例子：例子：系统xyy 到该点称为首次返回映射或者庞加莱映射。 例子：例子：系统 x y y x(1 x y(1 x2 x2 y 2 ) y2 ) r r (1 1 2 r ) 我们讨论从 x 正半轴 {( x,0); x 0} 出发的轨迹返回映射， 极坐标下等同于从 到 2 的解。 对于 1 r (1 r ) 2 dr dt 积分 我们得到 r (t ) 1 e ( r 1 2t 2 0 1) 那么当从 0 到 2 ，从 r0 出发的轨迹再次回到点 r( 2 ) 处，这就是庞加莱 映射，构造映射的截线 p( r ) 1 0 r ( 2 ) 1 e (r 4 2 0 1) 可以看出，当 r0 =0 和 1 时，映射返回自己，即 p( 0) 0, p(1) 1 ，而对于其他的 初始点 r0 ， p(r0 ) r0 。 定义：庞加莱（ Poincare ）截面，我们不连续地画出系统的轨道，而是每隔一个 0 周期取一个截面（ x, x ），就是庞加莱截面，截面是一系列的离散点 p( xi , yi ) ，形 成了二维映射 xn 1 yn 1 F ( xn , yn ) G( xn , yn ) 对于单周期运动， 庞加莱截面是一个点， 因为一个周期轨迹重新回到此点， 而对于 m 倍周期， 庞加莱截面有 m 个点，而对于拟周期， 那么截面上是无限多个点， 形成了连续的。 判断极限环 庞加莱-本迪克森定理是判断极限环存在与否的基本定理，因为并非所有的极限环都是圆，依据极坐标能够确定出来。举例说明，考虑系统 x y 2y x y( 4 x 2  24 y ) 2 引入函数 L( x, y) 1 ( x2 y 2 ) ，发现 2 L y2 (4 x 2 4 y2 ) 0 L 1/ 2 ，那么 A 0 L 2 {( x, y) : 1 2  L 2} 区域是正不变的， 在边界 L(1/ 2) 处是反阻尼，而在边界 L (2 ) 处是正阻尼，向量指向环域内部，因 此域内必然有封闭曲线轨迹。 庞加莱-本迪克森定理： 假设 A 是有界闭子集，而且是微分方程的正不变集，并 且 A 内部没有不动点，那么存在轨迹 (t, x0 ) ， x0 A ，是一个周期轨或者趋向 周期轨迹 ( x0 ) ， t 。A 必然是一个洞的环域，而且有两个边界，边界是闭 曲线。 李纳（ Lienard