《高等数学》教学课件 第2章.pptxVIP

第二章 导数与微分;本章内容;第一节 导数的概念; 设某质点沿直线作变速运动，其运动方程为 ，现在来确定该质点在某一给定时刻 t0 的速度 。根据该质点运动方程，当 时，质点所经过的路程是 。当 时，质点所经过的路程是 ，如图2-1所示。; 因此，当 越小， 就越接近质点在 t0 时刻的瞬时速度。据此，当 时，若 的极限存在，就将此极限值称为质点在时刻 t0的（瞬时）速度，即; 从中学知识中，我们知道圆周的切线是与圆有唯一交点的直线，但是曲线 在某点 的切线是什么样的直线？;图2-2; 当点 Q 沿曲线 L 趋于点 P 时， ，割线 PQ 的倾斜角 φ趋于切线PT的倾斜角 α，于是割线 PQ 的斜率 的极限（如果存在），就是曲线 L在点 P 处的切线的斜率，即;定义1 设函数 在点 x0 的某邻域内有定义，当自变量 x在 x0处取得增量 （ 仍在该邻域内）时，相应地函数 y 取得增量 ；如果当 时，比式 的极限存在，就说函数 在点 x0处可导，称这个极限为函数 在点 x0 处的导数，记为 或 或 或 ，即;（2-2）; 由此可见，函数 在点 x0 处的导数 ，就是导函数 在点 处的函数值，即;这就是导数的几何意义。; 根据导数的定义，求某个函数 的导数 ，实际上可以分为以下三个步骤：;解;同理，结合中学知识以及导数的定义，我们依次可知：;例2 【切线与法线方程】曲线 上哪个点处的切线与直线 平行？试求该曲线在点 处得切线方程和法线方程;即 ;例3 【上抛的物体】以初速度 v0 竖直上抛的物体，其上升高度s与时间t的关系是 ，求：（1）该物体的速度；（2）该物体达到最高点的时刻。;例4 【电动势】电动势 E定义为在电场力作用下转移单位正电荷所做的功。E 可用导数表示为 ，其中dq为转移的电荷，dW为电场力所做的功。;定理 如果函数 在点x处可导，那么函数 在点x处必连续。;第二节 导数的运算; 式（2-9）和式（2-10）可以推广到有限个可导函数的情形。例如，设 ， ， 均可导，则有;解;解;解;解;反函数的求导法则;解;解;即 ;三、复合函数的求导法则;解;（3）把 可看作由 复合而成的，因此;解;解;根据复合函数求导法则，得;1．基本初等函数的导数公式;2．函数和差积商的求导法则;3．反函数的求导法则;第三节 隐函数所确定的函数的导数;解;解;（2）两边同时对x求导，得;解;解; 由于 ～ ，所以 ，因而 ，从而 。因此;解;对数求导法简介;解;第四节 高阶导数;或 ;解;解;解;解;解;解;解;第五节 函数的微分; 若用x表示该薄片的边长，A表示面积，则A是x的函数： 。薄片受温度变化的影响时面积的该变量，可以看成是当自变量x自 x0取得增量 时，函数 相应的增量 ，即 。; 此时产生的误差 ，是一个当