《高等数学》（曹治清）课件 高等数学第二章.pptVIP

第２ 章 导数与微分;本章内容;2.1 导数的概念;; 有时，也会考虑式(2-1)中自变量的改变量 只从大于0或只从小于0的方向趋近于0，类似于左、右极限的概念，会有函数 在点 x0 处的左导数和右导数，分别记作 和 即： ;例2.1.1 考察函数 在 x = 0点处的可导性。 ;定义2.1.2 若函数在区间 内每一点都可导，则对于区间内的每一个x，都唯一存在一个导数值 与之对应，这样就在该区间内形成了一个新函数，称之为函数 是区间 内的可导函数，记作 ;根据导数定义，可得出导函数 ;;导数的几何意义;例2.1.2 求幂函数 在点(4 ，2) 处的切线方程。 ;2.1.3 可导与连续的关系;例2.1.3 考察函数 在x = 0点处的连续性与可导性。 ;2.2 导数的计算;例 2.2.2 求对数函数 的导数。 ;(这里用的是等价无穷小，也可以化为第二重要极限来求，读者可自己完成) 所以 特别地，当ɑ=e时，有 。;例 2.2.3 求正弦函数 的导数 。;例2.2.4 求指数函数 的导数。;由此可见，对于常见的基本初等函数，可以根据导数定义求出结果，并作为公式直接使用。现给出基本初等函数的导数公式。 希望同学们能熟记于心，加强应用。;例2.2.5 求下列函数的导数。;2.2.2 导数的四则运算;证 设 ，有 ;例2.2.6 求函数 的导数。;2. 乘法法则乘积的导数等于第一个因子的导数乘以第二个因子，再加上第一个因子乘以第二个因子的导数，即 ;例2.2.7 求函数 的导数。;3. 除法法则商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，最后再除以分母的平方，即 ;例2.2.8 求函数 的导数。;例2.2.9 求函数 的导数。;2.2.3 复合函数的导数;再如，求函数 的导数，可将 看成是由函数 和 复合而成的复合函数，则 ;;注意:(1)针对复合函数求导时，要先求 对中间变量 u 的导数，再求出 对 x 的导数，然后相乘即可。(2)该法则可以推广到有限次复合的情况。 例如，由 复合而成的函数 则对 x 求导得 ;例2.2.10 求函数 的导数。;例2.2.11 求函数 的导数。;例2.2.12 求函数 的导数。;当然，以后熟练了，可以由外向内依次求导，即最外面一层是 ， 把 看作一个整体，对最外一层 求导后，再乘以该整体的导数，直到最后一个是基本初等函数为止。 过程如下：;例2.2.13 求函数 的导数。;例2.2.14 求函数 的导数。;例2.2.15 求函数 的导数。;例2.2.16 求函数 的导数。;2.2.4 几个求导方法;证 由于 单调连续，所以它的反函数 也单调连续，给x以增量Δx ≠ 0，从 的单调性可知， 因而有 根据