《高等数学》课件 第9章.pptVIP

第九章 无穷级数;第一节 常数项级数的概念和性质 第二节 常数项级数的审敛法 第三节 函数级数与幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 幂级数展开式的应用;第一节 常数项级数的概念和性质;如果级数 的部分和数列{Sn }的极限存在，即 则称级数 收敛, S 为级数 的和,记为 如果 不存在,则称级数 发散.;当级数收敛时,其部分和Sn是级数和S 的近似值,称 为级数的余项，记作 rn ，即 用近似值Sn代替和S 所产生的误差是这个余项的绝对值,即误??是| rn | .;;二、常数项级数的基本性质和级数收 敛的必要条件;性质3 (两边夹定理) 如果 且 和 都收敛,则 也收敛. ;性质5 如果级数 收敛,则对级数的项任意加括号后所得到的级数 ;定理9.1.1 (级数收敛的必要条件) 如果级数 收敛,则它的一般项的趋于零,即 推论 如果 (包括极限不存在),则级数 必发散.;第二节 常数项级数的审敛法;定理9.2.1 正项级数 收敛的充分必要条件是:它的部分和数列{Sn}有界. 定理 9. 1. 2 (比较审敛法) 设级数 和 都是正项级数,且 (1)若级数 收敛,则级数 收敛; (2)若级数 发散,则级数 发散.;定理9.2.3 (比较审敛法的极限形式) 设级数 和级数 都是正项级数,如果 ,则 (1)如果0l+ ∞,则级数 和级数 同时收敛或发散; (2) 如果l=0 且级数 收敛,则级数 收敛; (3)如果l=+ ∞且级数 发散,则级数 发散.;定理9.2.4 (比值审敛法，达朗贝尔判别法) 若正项级数 的后项与前项比值的极限等于ρ. 即 当ρl 时级数收敛; 当ρl时级数发散; 当ρ=l 时级数可能收敛也可能发散.;二、交错级数及其审敛法;定理9.2.5 (莱布尼茨定理) 如果交错级数 满足条件:;三、绝对收敛与条件收敛;第三节 函数项级数与幂级数;二、幂级数及其收敛性;定理9.3. 1 (阿贝尔定理) 如果幂级数 当x=x0(x0≠0)时收敛,则适合不等式|x||x0|的一切 x 使此幂级数绝对收敛. 反之，如果级数 当x=x0时发散,则适合不等式|x||x0|的一切 x 使此幂级数发散.;推论 如果幂级数 不是仅在 x=0 一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R 存在,使得 当|x|R 时,幂级数绝对收敛; 当|x|R 时,幂级数发散; 当x=R与x=-R 肘,幂级数可能收敛也可能发散.;定理9.3.2 设幂级数 满足 ,则此幂级数的收敛半径 其中an ,an+l 是幂级数 的相邻两项的系数.;;三、幂级数的基本性质;(3)和函数S(x)在收敛区间(-R,R)内是可积的,且有逐项积分公式: 逐项积分后所得到的幂级数和幂级教有相同的收敛半径.;;;第四节 函数展开成幂级数;定理9.4.2 设函数 f(x) 在点x0的某一邻域U(x0) 内具有任意阶导数,则 f(x) 在该邻域内能展开成泰勒级敢的充分必要条件是 f(x)的泰勒公式申的余项Rn(x) 当n →∞时的极限为零,即;二、将函数展开成幂级数;;几个重要函数的幂级数展开式;第五节 幂级数展开式的应用;二、求极限;三、求不定积分;四、微分方程的事级数解法