《高等数学》教学课件 第5章.pptxVIP

第五章 定积分及其应用;本章内容;第一节 定积分的概念; 现在，我们来求由任意曲线 ，直线 围成的曲边梯形的面积 S（图5-2）。为了方便，不妨假 。 ;; 由于 在 上连续变化，在很小一段区间上它的变化很小，近似于不变。因此我们可以在每个小区间 上用其中某一点 处的高 来近似代替同一小区间上的小曲边梯形的变高，这样得到的小矩形的面积就可以看作是同一小区间上的小曲边梯形面积的近似值，即，即; 将n个小矩形面积加起来，即为曲边梯形 AabB 的面积的近似值，即;（4）取极限（去“粗”取“精”）。;采用上述方法分析如下：; 由于物体运动速度的变化是连续的，在很短的时间内速度变化很小，近似看做匀速的，我们在每个小区间 上任取一点 ，用 作为物体在小的时间段 上运动的路程 的近似值，即;; 在每个小区间上任取点 ，作乘积 ，并求和 ，令 ，如果不论对 怎样划分，也不论在小区间 上点 怎样选取，只要当 时， 存在，则称函数 在区间 上可积，并称此极限值为函数 在 上的定积分，记为 ，即;由定积分的定义可知，上面两个例子可表示成如下定积分：;关于定积分的定义作几点说明：;（3）在定积分定义中，我们假定 ，如果 时，我们规定;; 对于一般情况， 在 既取正值又取负值时，函数 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方（图5-5）．在这种情况下，定积分 在几何上表示曲线 ，直线 及x轴之间围成的各部分面积的代数和。;第二节 定积分的性质;性质3 （积分区间的可加性） 如果积分区间 被点 c分成两个区间 和 ，则;性质5 若 在 上满足条件 ，则;图5-6;性质7 （积分中值定理）如果函数 在闭区间 上连续，则在 上至少有一点 ，使得下式成立：;为连续函数 在 上的平均值。;例1 电流的有效值（均方根） 。;根据定义有 ，所以 ，即;例2 平均耗电量。;第三节 微积分基本定理;;解;解; 由题目可知，消耗率 就是石油消耗的总量的导数。所以从 到 期间石油消耗的总量 N为; 由题目可知，t时刻（以月为单位）的储存费为（10 000～2000 t），从而5个月后这位零售商需支付储存费为;第四节 定积分的换元积分法与分部积分法;例1 计算 。;例3 计算 。;例5 计算 。;如果 ， 在 上具有连续导数，由乘积的求导法则，可知;例6 计算 。;第五节 反常积分;分析 如果要求出此面积，我们可以分两步来完成：;（2）求 ，则该极限值即为我们所求的面积 ;;类似地，可以定义函数 在 和 上的反常积分。;计算反常积分时，为了书写上的方便，方法如下：;例1 求反常积分 。;解;第六节 定积分的应用;1．由曲线 ，直线