《概率论与数理统计》课件 概率学与数理统计 第八章.pptxVIP

第 8 章 假设检验 ;本章内容;;例;在这里，我们关心的是罐装生产线的生产是否正常，即罐装牛奶的平均容量是否为355毫升。为此，我们作出如下处理：先假设总体 X 的平均值为 μ =355，即生产是正常的，然后利用抽 取的12个数据，来推断所作假设的正确性，从而作出是拒绝或接受这一假设的论断，称为统计假设检验。这种类型的假设检验一般称为参数假设检验。;例;对于总体 X 的分布(包括分布类型或分布参数)的各种论断叫统计假设，简称假设，用“ H ”表示，例如： ( 1 )对于检验某个总体 X 的分??，可以提出假设： H0：X 服从正态分布， H1：X 不服从正态分布。 H0：X 服从泊松分布， H1：X 不服从泊松分布。 ( 2 )对于总体 X 的分布的参数,若检验均值，可以提出假设： H0： μ = μ0 ；H1： μ ≠ μ0 ， H0： μ μ0 ；H1： μ μ0 ；;若检验标准差，可提出假设： H0： σ = σ0 ；H1： σ ≠ σ0 ， H0： σ σ0 ；H1： σ σ0 。 这里 μ0 ，σ0 是已知数，而 μ = E ( X )，σ2= D ( X )是未知参数。;在例中可以作如下假设: H0 : μ = μ0 = 355 (备择假设 H1 ：μ ≠ μ0 )。 由于要检验的假设涉及总体均值 μ ，故首先想到是否可借助样本均值这一统计量来进行判断。从抽样的结果不难算出样本均值 X，与 μ0 = 355之间有差异。对于与 μ0 之间的差异可以有两种不同的解释。 ( 1 )统计假设 H0 是正确的，即 μ = μ0 =355，只是由于抽样的随机性造成了与 μ0 之间的差异； ;( 2 )统计假设 H0 是不正确的，即 μ ≠ μ0 = 355，由于系统误差，也就是罐装生产线工作不正常，造成了与 μ0 之间的差异。 对于这两种解释到底哪一种比较合理呢? 为了回答这个问题，我们适当选择一个小正数 α ( α等)，叫做显著性水平( Level of significance )。;给定一个小概率 α ，存在一个分位数 ， 使得 ;因为 α = 0.05 很小，根据实际推断原理，即“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生 的”，当 H0 为真时，事件 P{|Z| 1.96} = 0.05 是小概率事件,实际上是不可能发生的。现在抽样的结果是: |Z| =2. 3 1. 96，也就是说，小概率事件 P{|Z居然在一次抽样中发生了，这是一个几乎矛盾的结果，因而不能不使人怀疑假设 H0 的正确性，所以在显著性水平 α下，我们拒绝 H0 ，接受 H1 ，即认为这一天罐装生产线的生产是不正常的。 ;通过上例的分析，我们知道假设检验的基本思想是小概率事件原理(实际推断原理)，检验的基本步骤是： ( 1 )根据实际问题的要求，提出原假设 H0 及备择假设 H1 ; ( 2 )选取适当的显著性水平 α (通常 α等)以及样本容量 n ； ( 3 )构造检验用的统计量 U ，当 H0 为真时， U 的分布要已知，找出临界值 λα 使 P { | U | λα }= α。我们称| U | λα 所确定的区域为 H0 的拒绝域( Rejection region )，记作 W ； ( 4 )取样，根据样本观察值，计算统计量 U 的观察值 U0 ； ( 5 )作出判断，将 U 的观察值 U0 与临界值 λα 比较，若 U0落入拒绝域 W 内，则拒绝 H0 接受 H1 ；否则就说 H0 相容(接受 H0)。;由于我们是根据样本作出接受 H0 或拒绝 H0 的决定，而样本具有随机性，因此在进行判断时，我们可能会犯两个方面的错误：一类错误是，当 H0 为真时，而样本的观察值 U0 落入拒绝 域 W 中，按给定的法则，我们拒绝了 H0 ，这种错误称为第一类错误。其发生的概率称为犯第一类错误的概率或称弃真概率，通常记为 α ，即 P{拒绝H0 | H0为真} = α;另一种错误是，当 H0 不真时，而样本的观察值落入拒绝域 W 之外，按给定的检验法则，我们接受了 H0。这种错误称为第二类错误，其发生的概率称为犯第二类错误的概率或取伪概率，通常记为 β，即 P{接受H0 | H0不真} = β 显然这里的 α 就是检验的显著性水平。总体与样本各种情况的搭配见下表。;对给定的一对 H0 和 H1 ，总可以找到许多拒绝域 W。当然我们希望寻找这样的拒绝域 W，使得犯两类错误的概率 α 与 β 都很小。但是在样本容量 n 固定时，要使 α 与 β 都很小是不可能 的，一般情形下，减小犯其中一类错误的概率，会增加犯另一类错误的概率，它们之间的关系犹如区间估计问题中置信水平与置信区间的长度的关系那样。