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思想方法专题:矩形中的折叠问题
——体会矩形折叠中的方程思想及数形结合思想
eq \a\vs4\al(◆)类型一 矩形折叠问题中求角的度数
1.如图,将矩形ABCD沿AE折叠,使点D落在点D′处.若∠CED′=60°,则∠BAD′的大小是( )
A.30° B.45° C.50° D.60°
第1题图 第2题图
2.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使顶点B落在边AD上的点E处,折痕FG交AB于点F,交BC于点G,连接BE.若∠AEF=20°,则∠FGB的度数为( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
eq \a\vs4\al(◆)类型二 矩形折叠问题中求长度
3.(2017·安顺中考)如图,在矩形纸片ABCD中,AD=4cm,把纸片沿AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点O.若AO=5cm,则AB的长为( )
A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm
第3题图 第4题图
4.(2017·芜湖市期中)将矩形纸片ABCD按如图折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为( )
A.2 B.1 C.eq \r(,3) D.eq \r(,5)
5.(2017·宜宾中考)如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将△ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点F处,则DE的长是【方法18①】( )
A.3 B.eq \f(24,5) C.5 D.eq \f(89,16)
第5题图 第6题图
6.(2017·芜湖繁昌县期中)将矩形纸片ABCD按如图折叠,AE、EF为折痕,∠BAE=30°,BE=1.折叠后,点C落在AD边上的C1处,并且点B落在EC1边上的B1处.则EC的长为( )
A.eq \r(3) B.2 C.3 D.2eq \r(3)
7.★(2017·安庆潜山县期末)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内的点F处,连接CF,则CF的长为________.
第7题图 第8题图
eq \a\vs4\al(◆)类型三 矩形折叠问题中求面积
8.(2017·阜阳市期末)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,将纸片沿EF折叠,使点C与点A重合,则△AEF的面积是( )
A.8 B.10 C.12 D.14
9.(2017·鄂州中考)如图,将矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点F处,FC交AD于点E.
(1)求证:△AFE≌△CDE;
(2)若AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积.
参考答案与解析
1.A 2.C 3.C
4.C 解析:∵四边形AECF为菱形,∴AE=CE,∠FCO=∠ECO.由折叠可得∠ECO=∠ECB.又∵∠FCO+∠ECO+∠ECB=90°,∴∠FCO=∠ECO=∠ECB=30°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,∴CE=2BE,∴AE=2BE.∵AB=AE+BE=3,∴BE=1,CE=AE=2,∴BC=eq \r(CE2-BE2)=eq \r(3).故选C.
5.C 解析:四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,AB=CD=6,AD=BC=8,∴BD=eq \r(BC2+CD2)=10.由折叠可得BF=AB=6,EF=AE,∠BFE=∠A=90°,∴∠DFE=90°.设DE=x,则EF=AE=8-x.在Rt△DEF中,DE2=EF2+DF2,即x2=(8-x)2+(10-6)2,解得x=5.即DE=5.故选C.
6.B 解析:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠BAD=90°.∵∠BAE=30°,BE=1,∴AE=2BE=2×1=2,∠AEB=90°-∠BAE=90°-30°=60°,∠EAC1=∠BAD-∠BAE=90°-30°=60°.由折叠可得∠AEB1=∠AEB=60°.∴∠AC1E=180°-∠EAC1-∠AEB1=60°,∴△AEC1是等边三角形,∴EC1=AE=2.由折叠可得EC=EC1=2.故选B.
eq \f(18,5) 解析:如图,连接BF交AE于点H.∵BC=6,点E为BC的中点,∴BE=CE=eq \f(1,2)BC=3.由折叠可得BF⊥AE,BH=eq \f(1,2)BF.∴在Rt△ABE中,由勾股定理得AE=eq \r(AB2+BE2)=5.∵S△ABE=eq \f(1,2)AB·BE=eq \f(1,2)AE·BH,∴B
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