《概率论与数理统计》课件 概率学与数理统计 第二章.pptxVIP

第2 章 随机变量本章内容 1 随机变量及其分布 2 离散型随机变量及其分布 3 连续型随机变量及其分布 4 随机变量函数的分布 5 独立性第一节随机变量及其分布定义2.1 设随机试验的样本空间为 是定义在样本空间 Ω 上的实值单值函数，称之为随机变量(Random variable)。定义2.2设 X 是随机变量，x 为任意实数，函数称为 X 的分布函数(Distribution function)。对于任意实数 ，有(2.1) 因此，若已知 X 的分布函数，我们就能知道 X 落在任一区间 上的概率。从这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。 如果将 X 看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数 在 x 处的函数值就表示 X 落在区间 上的概率。分布函数具有如下基本性质:1.。2.为单调不减的函数，即，若 ，则 。事实上，由(2.1)式，对于任意实数 ，有3.。4. 为右连续，即 概率论主要是利用随机变量来描述和研究随机现象，而利用分布函数就能很好地表示各事件的概率。例如，1. 离散型随机变量：随机变量只取数轴上的有限个或可列个点。2. 连续型随机变量：随机变量的可能取值充满数轴上的一个或若干区间。3. 奇异型随机变量：既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量。在理论上很有价值，而实际问题中很少有应用。随机变量的分类:一、离散型随机变量和概率分布第二节 离散型随机变量及其分布定义2.3：如果随机变量所有可能的取值为有限个或可列无穷多个，则称这种随机变量为离散型随机变量(Discrete random variable)。 设离散型随机变量 X 所有可能的取值为 ，X 取各个可能值的概率，即事件 的概率定义2.4(2.2)称为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。分布律也常用表格来表示(表2-1)：表2-1概率分布完整地描述了离散型随机变量的统计规律。概率分布具有下列两个基本性质：(2.3)1.；2.。(2.4) 反之，任意一个具有以上两个性质的数列 ，一定可以作为某一个离散型随机变量的分布律。为了直观地表达分布律,我们还可以作类似图2-1的分布律图。图2-1 图2-1中 xi 处垂直于 x 轴的线段高度为 pi，它表示 X 取 xi 的概率值。例2.1 一盒中装有编号为1，2，3，4，5的五个球,现从中任意取三个球，求所抽出三个球的中间号码 X 的概率分布。解 X 所有可能的取值为2，3，4。当 时，另两个球中的一个在小于 k 的 个球中取，还有一个球在大于 k 的 个球中取，所以，见表2-2。表2-2例2.2 设一汽车在开往目的地的道路上需通过4盏信号灯，每盏灯以的概率允许汽车通过，以的概率禁止汽车通过(设各盏信号灯的工作相互独立)。以 X 表示汽车首次停下时已经通过的信号灯盏数，求 X 的分布律。 以 p 表示每盏灯禁止汽车通过的概率，显然 X 的可能取值为0，1，2，3，4，易知 X 的分布律为解表2-3或写成将 代入上式，所得结果如表2-4所示。表2-4二、常用离散型随机变量的分布1. 两点分布(Two-point distribution)若随机变量 X 只可能取 x1 与 x2 两值，它的分布律是则称 X 服从参数为 P 的两点分布。 特别地，当 时两点分布也叫(0-1)分布(0-distribution)，记作 分布。写成分布律表形式见表2-5。表2-5 对于一个随机试验，若它的样本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在 Ω 上定义一个服从(0-1)分布的随机变量用它来描述这个试验结果。因此，两点分布可以作为描述试验只包含两个基本事件的数学模型。2. 二项分布(Binomial distribution)若随机变量 X 的分布律为(2.5)则称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记作 。 易知(2.5)满足概率分布的性质(2.3)、(2.4)两式。事实上， 是显然的；再由二项展开式知 我们知道， 恰好是 二项展开式中出现pk 的那一项，这就是二项分布名称的由来。回忆 n 重伯努利试验中事件 A 出现 k 次的概率计算公式 可知，若 ，X 就可以用来表示 n 重伯努利试验中事件 A 出现的次数。因此，二项分布可以作为描述 n 重伯努利试验中事件 A 出现次数的数学模型。 不难看出，(0-1)分布就是二项分布在 时的特殊情形，故(0-1)分布的分布律也可写成例2.3 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛。校队的实力较系队为强，当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为。现在校、系双方商量对抗赛的方式,提了三种方案：(1)双方各出3人；(2)双方各出5人；(3)双方各出7人、三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利。问：对系队来说