《概率论与数理统计》课件 概率学与数理统计 第九章.pptxVIP

第9章 方差分析;本章内容;第一节 单因素试验的方差分析;例9.1 为求适应某地区的高产水稻的品种( 因素或因子) , 现选了五个不同品种( 水平)的种子进行试验, 每一品种在四块试验田上进行试种。假设这 20块土地的面积与其他条件基本相同, 观测到各块土地上的产量( 单位: 千克) 见表9–1。;在这个问题目中, 要考察的指标是水稻的产量, 影响产量的因素只考虑种子品种 A , 五个不同品种分别记作 。同一品种在不同田地上产量不同, 这是除品种之外的各种随机因素造成的。把一个品种下的产量看做一个总体, 假定这五个总体服从方差相同的正态分布。这样第 i 个总体 , 并且从中获得了一个样本的观测值 ， i =1 , …, 5. 这就是一个典型的单因素方差分析问题 。;例 9.2 考察一种人造纤维在不同温度的水中浸泡后的缩水率, 在 40℃ , 50℃ , …, 90℃ 的水中分别进行 4 次试验, 得到该种纤维在每次试验中的缩水率如表 9-2. 试问浸泡水的温度对缩水率有无显著的影响?;例 某试验室对钢锭模进行选材试验 . 其方法是将试件加热到700 ℃ 后, 投入到 20 ℃的水中急冷, 这样反复进行到试件断裂为止, 能经受住的试验次数越多, 试件质量越好 . 试验结果如表9-3.;;;方差分析的任务是对于模型(9. 1 ) , 检验 s 个总体 N ( , ) , …, N ( , )的均值是否相等, 即检验假设; 表示水平Aj下的总体平均值与总平均的差异.习惯上 称为水平Aj的效应.利用这些记号,模型(9.1)可改写成:; 可分解成总平均、水平Aj的效应及随机误差三部分之和.虽然有;假设(9.2)等价于假设;;注意到;记;由于;平方和的分解公式(9.7)说明.总平方和可以分解成误差平方和与因素A的效应平方和.(9.8)式说明 完全是由随机波动引起的.而(9.9)式说明 除随机误差外还含有各水平的效应 ,当 不全为零时, 主要反映了这些效应的差异.若(9.2)′中的 成立, 各水平的效应为零, 中也只含随机误差,因而 与 相比较相对于某一显著性水平来说不应太大.方差分析的目的是研究 相对于 有多大, 若 比 显著地大, 就表明各水平对指标的??响有显著差异.故需研究与 / 有关的统计量.;;于是, 对于给定的显著性水平α(0α1) ，由于;上面的分析结果可排成表9-5的形式,称为方差分析表.;当 时, 称为显著, 当 时, 称为高度显著. 实际使用时,我们可以按以下较简便的公式来计算 , 和 .记;即有;例9.4 如上所述,在例9.3中需检验假设 现给定α=0.05，完成这一假设检验。;由于;例9.5 如上所述,在例9.2中需检验假设 现给定α=0.05， α=0.01完成这一假设检验。;由于;本节的方差分析是在这两项假设下，检验各个正态总体均值是否相等. 一是正态性假设,假定数据服从正态分布；二是等方差性假设,假定各正态总体方差相等. 由大数定律及中心极限定理，以及多年来的方差分析应用，知正态性和等方差性这两项假设是合理的.;第二节 双因素试验的方差分析;表9-8(a)中，无论B在什么水平(B1还是B2)，水平A2下的结果总比 A1下的高20；同样地，无论A 是什么水平，B2下的结果总比B1下的高20. 这说明A 和B 单独地各自影响结果，互相之间没有作用. 表9 - 8(b)中，当B 为B1 时，A2 下的结果比A1的高，而且当B 为B2时，A1下的结果比A2的高；类似地,当A 为A1时，B2下的结果比B1的高70，而A为A2时，B2下的结果比B1的高30. 这表明A 的作用与B所取的水平有关，而B的作用也与A所取的水平有关，即A和B不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式对结果也有影响. 我们把这种影响称作因素A和B的交互作用，记作A×B. 在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平A 和B 的作用，还要检验它们的交互作用.;设有两个因素A,B作用于试验的指标,因素A有r个水平A1， A2，…， Ar， 因素B有s个水平B1, B2,…, Bs， 现对因素A ，B的水平的每对组合(Ai， Bj) ，i =1，2，…，r ； j =1，2，…，s 都作t(t ?