黎曼猜想的证明（完整版）.pdf

黎 曼 猜 想 的 证 明 (完整版) 作者：廖腾 2017-5-3 摘要： 为了从纯数学的角度严格证明黎曼在 1859 年所写的论文《论不大于 x 的素数的个数》中所提出的假 设和猜想，本论文变换使用欧拉公式，证明了黎曼的这个假设和猜想是完全正确的。 关键词：欧拉公式 =Cos(x)+iSin(x)、黎曼ζ 函数、黎曼假设、黎曼猜想。 运算符号说明： Σ (求和符号) Π (连乘符号) *(乘号) / (除号) (复数s 的共厄复数) sin(x) (正弦函数) cos(x) (余弦函数) tg(x) (正切函数) ctg(x) (余切函数) ln(x) ( 自然对数函数) ∈(属于符号) π (圆周率符号，表示角的弧度数) R (实数集合) C (复数集合) () (小括号) [] (中括号) ζ (s) (黎曼ζ 函数，读音Zeta 函数) ξ (t) (黎曼在他论文中定义的一个函数，与黎曼ζ 函数本质上完全相同，仅有的差别是以 t 为自变量。 通常使用的ζ (s) ，仍以 s 为自变量， s 和 t 差一个线性变换：s= +ti，即一个 90 °旋转加 的平移) Ψ(x) (雅可比θ (x)函数，读音theta 函数) Γ (s) (欧拉伽玛函数) (函数f(x)在区间[a,b]上的不定积分) 其中：Σ (求和符号)、Π (连乘符号)在统计数学中有介绍，属常用数学符号。ζ (s) 与ξ (t)请参阅黎曼 1859 年 论文《论不大于x 的素数的个数》。Ψ(x) (雅可比θ (x)函数）、Γ (s) (欧拉伽玛函数)请参考雅可比θ (x)函数理 论和欧拉伽玛函数理论。 先给出黎曼1859 年的论文《论不大于x 的素数的个数》英文版全文： 引言： 下面是黎曼1859 年的论文中文版内容的一部分： 论小于某给定值的素数的个数 黎曼（Riemann） 承蒙（柏林）科学院接纳我为通讯院士，我想表达被赐予这份殊荣的感谢之情的最好方式是立即利用由此得到的许可向其通报一项关于素数分布密 度的研究，考虑到高斯和狄利克雷曾长期对此问题抱有浓厚的兴趣，它似乎并不是完全配不上这样一个报告。 我以欧拉的发现、即下面这个等式作为本研究的起点: = 其中等式左边的 p 取遍所有质数，等式右边的 n 取遍所有自然数，我将用ζ (s)表记由上面这两个级数 (当它们收敛时)表示的复变量s 的函数。 上面这两个级数只有当 s 的实部大于 1 时才收敛，但很容易找到一个对任意 s 总是有效的函数ζ (s)的表达式。 利用等式 ∞ dx= 可得 ∞ ζ (s)= 现在考虑积分