解题技巧：勾股定理与面积问题.docVIP

优秀领先 飞翔梦想 优秀领先 飞翔梦想 成人成才 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 12 页 解题技巧专题：勾股定理与面积问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——全方位求面积，一网搜罗　　　　　　　　　　　　 eq \a\vs4\al(◆)类型一　三角形中利用面积求高 1．(2017·芜湖繁昌县期中)一个直角三角形的两直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为(　　) A．13 B.eq \f(13,2) C.eq \f(60,13) D.eq \f(12,5) 2．(芜湖期中)如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为(　　) A.eq \f(4,5)eq \r(5) B.eq \f(2,3)eq \r(5) C.eq \f(2,5)eq \r(5) D.eq \f(4,3)eq \r(3) eq \a\vs4\al(◆)类型二　结合乘法公式巧求面积或周长 3．(芜湖繁昌县期末)已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是(　　) A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2 4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是(　　) A．7cm B．10cm C．(5＋eq \r(37))cm D．12cm 5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 eq \a\vs4\al(◆)类型三　巧妙割补求面积 6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积． 7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2.求四边形ABCD的面积．【方法11】 eq \a\vs4\al(◆)类型四　“勾股树”及其拓展类型求面积 8．(合肥瑶海区期中)如图是一株美丽的勾股树，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是(　　) A．13 B．21 C．47 D．196 第8题图 第9题图 9．(2017·蚌埠市五校期中)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若S1＋S4＝100，S3＝36，则S2的值为(　　) A．136 B．64 C．50 D．8 10．★五个正方形按如图放置在直线l上，其中第1，2，4个正方形的面积分别为2，5，4，则第5个正方形的面积S5＝________． 参考答案与解析 1．C 2．A　解析：由图可知AC＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，S△ABC＝eq \f(1,2)×2×2＝2.又∵BD⊥AC，∴S△ABC＝eq \f(1,2)×eq \r(5)×BD＝2，解得BD＝eq \f(4,5)eq \r(5).故选A. 3．A　4.D　5.C 6．解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(52＋122)＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD，即△ACD是等腰三角形．∵CE⊥AD，∴AE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE＝eq \r(AC2－AE2)＝eq \r(132－52)＝12.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝eq \f(1,2)AB·BC＋eq \f(1,2)AD·CE＝eq \f(1,2)×(12×5＋10×12)＝90. 7．解：延长AD，BC交于点E.∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°，∴AE＝2AB＝8.在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝eq \r(AE2－AB2)＝eq \r(82－42)＝4eq \r(3).∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，∴CE＝2CD＝4.在Rt△CDE中，由勾股定理得DE＝eq \r(CE2－CD2)＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3).∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CDE＝eq \f(1,2)AB·BE－eq \f(1,2)CD·DE＝e