专题11.5 三角形高线、中线与角平分线（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）.docxVIP

专题11.5 三角形高线、中线与角平分线（知识讲解） 【学习目标】 1. 理解三角形的高、中线、角平分线及垂心、重心、内心的概念，并能画出这个三角形三条重要线段； 2.能进行三角形的高、中线、角平分线的有关计算； 3. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用． 【知识点梳理】 知识点一、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如图一，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 图一 图二 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 特别说明：如图二 （1）三角形的高是线段；分别为AD、BE、CF。 （2）三角形有三条高，且相交于一点H，这一点H叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 知识点二、三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 图三 图四 特别说明： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形有三条中线而且三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如图四： 知识点三、三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 图五 图六 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 特别说明： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线； 图七 知识点四、三角形的稳定性 ?? 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 特别说明： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理． （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 【典型例题】 类型一、三角形的高线 （1）、三角形高线的画法 1 如图，已知，画出的高AD和CE． 解：如图，AD、CE为所作． 【点拨】作三角形高线的方法：作一边上的高，就过这边所对的角的顶点作这边所在直线的垂线段。此垂线段就是这边上的高。 （2）、三角形高线等面积法的计算 2. 如图，已知，按要求作图． （1）过点作的垂线段； （2）过作、的垂线分别交于点、； （3），，，，求点到线段的距离． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）点到线段的距离为． 【分析】（1）、（2）根据几何语言作图； （3）利用三角形面积公式得到，然后把，，代入计算可求出． 解：（1）如图，为所作； （2）如图，、为所作； （3）， ， 即点到线段的距离为． 【点拨】本题考查了作图以及三角形高线的定义，熟练掌握面积法求高线是解题关键. 类型二、三角形的中线 1）三角形中线中有关线段和角的计算 3.如图，AD为的中线，BE为的中线．