2008历年考研数学一真题及详解.docx

2008 年全国硕士研究生入学统一考试 数学 ( 一) 试卷 一、选择题 (1-8 小题 , 每题 4 分, 共 32 分, 下列每题给出的四个选项中 , 只有 一项切合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 .) (1) 设函数 f (x) x2 ln(2 t )dt 则 f ( x) 的零点个数 0 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2) 函数 f ( x, y) arctan x 在点 (0,1) 处的梯度等于 y (A) i (B)- i (C) j (D) j (3) 在下列微分方程中 , 以 y C1ex C2 cos2x C3 sin 2x ( C1, C2 ,C3 为随意常数 ) 为通解的 是 (A) y y 4 y 4 y 0 (B) y y 4 y 4 y 0 (C) y y 4 y 4 y 0 (D) y y 4 y 4 y 0 (4) 设函数 f (x) 在 ( , ) 内单一有界 , xn 为数列 , 下列命题正确的选项是 (A) 若 xn 收敛 , 则 f ( xn ) 收敛 (B) 若 xn 单一 , 则 f ( xn ) 收敛 (C) 若 f ( xn ) 收敛 , 则 xn 收敛 (D) 若 f ( xn ) 单一 , 则 xn 收敛 (5) 设 A 为 n 阶非零矩阵 , E 为 n 阶单位矩阵 . 若 A 3 0 , 则 (A) E A 不可逆 , E A 不可逆 (B) E A 不可逆 , E A 可逆 (C) E A 可逆 , E A 可逆 (D) E A 可逆 , E A 不可逆  (6) 设 A 为 3 阶实对 称矩阵 , 如果二次 曲面方程 x ( x, y, z)A y 1 在正交变换下的标准方程的图形如图 , 则 z 的正特点值个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 设随机变量 X ,Y 独立同散布且 X 散布函数为 F x , 则 Z max X ,Y 散布函数为 (A) F 2 x (B) F x F y (C) 1 1 F 2 (D) 1 F x 1 F y x (8) 设随机变量 X ~ N 0,1 , Y ~ N 1,4 且有关系数 XY 1 , 则 (A) P Y 2X 1 1 (B) P Y 2 X 1 1 (C) P Y 2X 1 1 (D) P Y 2 X 1 1 二、填空题 (9-14 小题 , 每题 4 分, 共 24 分, 请将答案写在答题纸指定位置上 .) (9) 微分方程 xy y 0 知足条件 y 1 1 的解是 y . (10) 曲线 sin xy ln y x x 在点 0,1 处的切线方程为 . (11) 已知幂级数 an x 2 n 在 x 0 处收敛 , 在 x 4 处发散 , 则幂级数 an x 3 n 的 n 0 n 0 收敛域为 . (12) 设曲面 是 z 4 x2 y2 的上侧 , 则 xydydz xdzdx x2dxdy . (13) 设 A 为 2 阶矩阵 , α1, α2 为线性无关的 2 维列向量 , A α1 0, Aα2 2α1 α2 , 则 A 的非 零特点值为 . (14) 设随机变量 X 听从参数为 1 的泊松散布 , 则 P X EX 2 . 1 三、解答题 (15 －23 小题 , 共 94 分. 请将解答写在答题纸指定的位置上 . 解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 .) (15)( 此题满分 10 分) (17)( 此题满分 10 分) 求极限 lim sin x sin sin x sin x x2 y2 2z2 0 , 求曲线 C 距离 XOY 面最远的点和最近的点 . x 4 . 已知曲线 C : y 3z 5 x 0 x (16)( 此题满分 10 分) 计算曲线积分 一段 .  sin 2xdx 2 x2 1 ydy , 其中 L 是曲线 y sin x 上从点 0,0 到点 ,0 的 L (18)( 此题满分 10 分) 设 f x 是连续函数 , (1) 利用定义证明函数 F x x . f t dt 可导 , 且 F x f x 0 (2) 当 f x 是以 2 为周期的周期函数时 , 证明函数 G x 2 x 2 f (t )dt x f (t) dt 也是以 2 0 0 为周期的周期函数 . 2 (19)( 此题满分 10 分) n 1 f x 1 x2 (0 x ) , 用余弦级数展开 , 并求 1 n 1 n2  的和 . (20)( 此题满分 11 分) A TT