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第1讲 集合的概念与运算
设集合A={2,0,1,3},集合B={,}.求集合B中所有元素的和.
对任意x,,若,,则称S对加减封闭,S为I的真子集.
(1)试举一例S;
(2)证明:若、为R的两个真子集,且对加减封闭,则必存在,使得.
设集合{1,2,…,2011},满足:在M的任意三个元素中,都可以找到两个元素a、b,使得或.求的最大值(其中表示集合M的元素个数).(2011年中国西部数学奥林匹克试题).
设函数(a,),集合
A={,},B={,}.
(1)证明:;
(2)当A={-1,3}时,求集合B.
集合A、B、C(不必相异)的并集
={1,2,…,10}.
求满足条件的集合的有序三元组(A,B,C)的个数.
设,,集合A、B都是I={1,2,…,n}的真子集,,.证明:集合A或者B中,必有两个不同的数,它们的和为完全平方数.
设、、、是4个有理数,使得
{-24,-2,,,1,3},
求的值.(2015年全国高中数学联赛)
设m、n是给定的大于1的整数,都是整数.证明存在整数集的一个子集T,其元素个数
,
且对每个{1,2…,m},均有及[-n,n],使得.(2010年中国数学奥林匹克)
设集合A的元素都是正整数,满足如下条件:
(1)A的元素个数不小于3;
(2)若,则a的所有因数都属于A;
(3)若,,,则.
请解答下面的问题:
(1)证明:1、2、3、4、5都是集合A的元素;
(2)问:2005是否为集合A的元素?
练习题
A组
对于集合,我们把称为它的长度.设集合
,,
且A、B都是集合的子集,则集合的长度的最小值是______.(2012年全国高中数学联赛B卷)
设集合A={,,,},若A中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B={-1,3,5,8},则集合A=_______.(2011年全国高中数学联赛一试)
设x、y、x都是非零实数,试用列举法将
的所有可能值构成的集合表示出来.
设集合
A={2,4,},
B={1,,,},
问:是否存在,使{2,5}?证明你的结论.
已知X是方程的实数解集,
A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},
且,.求p、q的值.
已知集合A={(x,y)},B={(x,y)},且是一个单元集,求实数a的取值范围.
已知集合
,},
,}.
问:集合A和B之间的关系是怎样的?
已知集合M={x,xy,},N={0,,y},并且M=N.求
的值.
设集合中的最大元素与最小元素分别为M、m,求的值.
设A是两个整数平方和的集合,即
A={,m,}.
(1)证明:若s,,则;
(2)证明:若s,,,则,其中p、q是有理数.
在集合{1,2,…,50}的子集S中,任意两个元素的平方和不是7的倍数.求的最大值.
M是正整数集的子集,满足:,,,并且有如下性质:若a,,则,问:M有多少个非空子集?
设、、是三个由整数组成的非空集,已知对于1、2、3的任意一个排列i、j、k,如果,,则.证明:、、中必有两个集合相等.
已知集合A={(x,y)},B={(x,y)},C={(x,y)}.则
(1)当a取何值时,是一个2元集?
(2)当a取何值时,是一个3元集?
设集合A={,,,,},
B={,,a,,},
其中都是正整数,且,,并满足={,},中所有数之和为224.求集合A.
B组
考虑集合{1,2,…,2000}的满足下述条件的子集A,A中没有一个数是另一个数的5倍.求的最大值.
已知一族集合,,…,具有性质:
(1)每个含有30个元素;
(2)对每一对i、j:,都是单元集;
(3).
求使这样的集合族存在的最大的正整数n.
已知{1,2,…,2000},且A中任意两个数之差的绝对值不等于4或7.求的最大值.
A={,,},T是A的子集族,包含及A,且任意两个元素的交及并也属于T,求这样的T的个数.
给定整数,
(1)求证:可以将集合{1,2,…,n}的所有子集适当地排列为,,…,,使得与的元素个数恰相差1,其中i=1,2,…,且;
(2)对于满足(1)中条件的子集,,…,,求的所有可能值,其中,.(2011年中国西部数学奥林匹克).
第2讲 有限集元素的数目
在1,2,…,1000中,有多少个正整数既不是2的倍数,又不是5的倍数?
集合A的元素都是正整数,其中最小的是1,最大的是100,除1以外,每一个元素都等于集合A中的两个数(可以相同)的和.求集合A的元素个数的最小值.
已知A与B是集合{1,2,3,…,100)的两个子集,满足:A与B的元素个数相等,且为空集,若,总有,求集合的元素个数的最大值.
设S={1,2,3,4},n项的数列:,,…,有下列性质:对于S的任一非空子集B(B的元素个数记为),在该数列中有相邻的项恰好组成集合B.求n的最小值.
设A={
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