奥数教程高二分册_经典例题（第7版）.doc

第1讲 最大值和最小值 已知正实数a、b、c满足：，．求的最小值． 若实数a、b、c满足，，求c的最小值． 设u、v、w为正实数，满足条件 ， 试求的最小值． 设a、b、c为非负实数，求 的最小值． 在△ABC中，求的最小值． 设、、是非负实数，满足，求 的最小值和最大值． 已知，i=1，2，…，n，且 ， 求整数n的最小值． 已知实数x、y、z满足，求 的最大值． 练习题 A组 填空题 若对所有的正数x、y，均有，则实数a的最小值是______． 已知x、y、z是正数，且满足，则的最小值为______． 已知，，且，则的最小值为_______． 实数x、y、z、w满足，则 的最大值是_______． 已知x、y是实数，使得，且的实数z的最大值是_______． 已知x，，且，则的最大值是_______． 解答题 已知，，，且，求的最大值． 设x，，{x，，}．求S的最大值． 设实数a、b满足，，其中，，．求最大值． B组 已知x，y，，设 ， ， ． 记{P，Q，R}，求． 设数，，…，满足条件 ． 记，k=1，2，…，1991．试求 可能取得的最大值． 已知a、b、c为正实数，且．求的最大值． 第2讲 证明不等式的常用方法 设实数a、b、c均不小于-1，且．证明： ， 并求出等号成立的条件． 设a、b、c是三角形的三边，，求证： ． 已知a、b、c为任意实数，证明： ． 设．求证：． 求证： ． 已知a，b，，且．求证：下列三个式子中至少有两个成立： ，，． 设，，…，为实数．证明： ． 已知x，y，，．证明： ． ① 练习题 A组 填空题 已知a，，且，则的最小值为______． 设非负实数x、y满足，则方程的解为______． 设n是给定的正整数，且，，，…，（0，1），．则的最大值是______． 解答题 设a，b，，且满足．证明： ． 求证：对任意和，都有 ． 设a、b、c是正数，且满足．证明： ． 设，，，求证． 证明：不等式 对所有的实数x、y、z成立． 设a、b、c是实数，且满足．证明：、、中最多有两个数大于1． B组 设，，…，和，，…，都是正实数，且，求证： ． 设a、b、c是一个三角形的三边长，证明： ． 设实数x、y、z满足，求证： ． 第3讲 证明不等式的常用技巧 已知x、y、z为正数，且 ． 求的最小值． 设、、是正数．求证： ． 已知正实数，，…，满足 ． 证明：． 设a、b、c是正实数，且．求证： ． 对于正整数，正实数，，…，满足 ． 设实数a、b、c满足，．求证： ． 设a、b、c为正数，求证： ． ① 设x、y、z为实数，且．求证： ． 练习题 A组 填空题 若实数x、y满足，则的取值范围是______． 实数x、y满足，则F（x，y）=的最大值与最小值之和为______． 已知，，，．那么的最大值是__________． 设a，b，，，则的最小值是________． 已知x，y，，且，则xyz的最大值是________． 解答题 设a、b、c都是实数，证明： ． 设、、、、的都是正数，求证： ． 设，，，求证： ． B组 设x、y、z为正数．证明： ． 已知x，y，，且，求证： ． 已知∠A、∠B、∠C为锐角三角形的三个内角．求证： ． 设a、b、c是一三角形的三边长，求证： ， 并说明等号成立的条件． 第4讲 等差数列与等比数列 已知数列的各项为互异的正数，且其倒数构成等差数列，求的值． 已知数列为公差的等差数列，中的部分项组成的数列，，…，，…恰为等比数列，其中，，，．求． 各项均为实数的等比数列的前n项之和为，若，．求． 已知为等差数列，且、、均为数列中的项．证明：对任意的，为整数． 设是各项均为正数的等比数列，且 ，， 求的前n项之和． 设是由正数组成的等比数列，是其前n项之和． （1）证明：； （2）是否存在常数，使得成立？并证明你的结论． 已知实数，，…，互不相等，将个将升序排成一个新数列．若新数列为等差数列，求n的值． 将各项均为正数的数列排成如下所示的三角形数阵（第n行有n个数，同一行中，下标小的数排在左边）．表示数阵中，第n行、第1列的数．已知数列为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为d的等差数列（第3行的3个数构成公差为d的等差数列；第4行的4个数构成公差为d的等差数列……），，，． （1）求数阵中第m行、第n列的数A（m，n）（用m、n表示）； （2）求的值； （3）2013是否在该数阵中？并说明理由． 练习题 A组 填空题 七个正数组成等比数列，，…，，其前五项之和为，后五项之和为，则这七项之积的值是_______． 设是一个等差数列，，．设，其中n是正整数，则的最小值是____