奥数教程高一分册_经典例题（下）（第7版）.doc

第18讲 向量的概念与运算 设、是A、B两点的位置向量（起点相同），P是有向线段AB所在直线上一点，它分AB所成的比为．求P点的位置向量． 设O为△ABC内一点，证明：存在正实数、、，使得，且 ． 在四边形ABCD中，E是AB中点，K是CD中点．试证：以线段AK、CE、BK和DE中点为顶点的四边形为平行四边形． 设、、分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点，G为△ABC的重心，、、分别是△、△、△，的重心，并设△和△的重心分别为和．证明：、、三点共线． 在△ABC中，已知对任意实数t，都有 ． 证明：△ABC是一个直角三角形． 在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，边DC上（包含点D、C）的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足，求向量与向量的数量积的最小值． 在△ABC中，已知． （1）将BC、CA、AB的长分别记为a、b、c，证明：； （2）求的最小值． 设，，…，和，，…，是同一平面上的2n个不同的点，证明：可以将点，，…，重新排序为，…，，使得对任意，向量与的夹角都为锐角或者直角． 练习题 A组 设、两个单位向量，它们的夹角为60°．求向量和的夹角． 两个非零向量、满足：与垂直，而且与垂直.求与的夹角． △ABC中AB=7，BC=5，CA=6．求的值． 空间中的四个点A、B、C、D满足：，，，．求的值． 设O为△ABC内一点，记，，．证明： ． 凸四边形ABCD的顶点对应的向量分别为、、、．已知，且．试刻画四边形ABCD的形状． 设O为△ABC内一点，已知．求的值． 在△ABC中，已知．求的最大值． 设F为平行四边形ABCD的边CD的中点，AF交BD于点E．证明：E为BD的一个三等分点． 在△ABC中，AB=AC，D为底边BC的中点，E为AC上一点，使得DE⊥AC，设F为DE的中点．求证：AF⊥BE． B组 设P为给定的凸n边形的内部或边界上的点，记．证明：的最大值可以在P为某个顶点时取到． 将整数1，2，…，填入一个n×n的表格，每格填一个数，且任意两格中所填入的数不同．现在将任意两个方格的中心连出一个向量，方向都是依所填的数从小到大．证明：如果表格中每行、每列所填各数之和相等，那么所连出的全部向量之和等于零． 一个n×n的方格表的每个方格内填入1或-1，已知该方格表中任意两行对应的向量的内积都等于0（例如第i行与第j行对应向量为（，…，），（，…，），则），且它有一个a×b的子表格（即一个a行、b列交出的方格组成的表格）内所填的数都是1．证明：． 第19讲 空间的“角”和“距离” 如图19-1所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7，．求异面直线AB与CD所成的角． 图19-1 已知空间一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于，求的值． 已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，已知，．求二面角H-AB-C的大小． 求棱长为1的正方体中，两条面对角线与的距离． 已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2．设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，求点O到平面ABC的距离． 在三棱锥S-ABC中，侧棱SC等于底边AB，且与底面ABC成60°角，顶点A、B、C以及棱锥的侧棱中点都在半径为1的球上．求证：此球的球心在棱AB上，并求此棱锥的高． 已知正方体的棱长为1，在AC上取一点P，过P、、三点作平面与底面所成的二面角为，过P、、三点作平面与底面所成的二面角为，求的最小值． 是否存在一个平面x和一个正四面体T，使得开截T所得截面是一个三角形，且该三角形有一个内角大于120°？ 练习题 A组 正三棱维S-ABC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，则EF与SA所成的角等于________． 在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA⊥平面ABCD，且PA=1，则P到对角线BD的距离为_______． 设异面直线a、b所成角为80°，P为空间中一点，一条过P的直线与a、b所成角都是50°，则这样的直线有且仅有______条． 与空间不共面的4个点距离都相等的平面有_____个． ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿DE和CE折起，使AE和BE重合，设A与B重合的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角的大小为______． 在正方体，中，二面角的大小为________． 已知正方体的棱长为1，点M、N分别为、的中点，求直线MN与正方体的体对角线所在直线的距离． 三棱柱的九条棱全部都等于1，且∠=∠=∠BAC．点P是侧面的对角线上一点，，连结，求直线与AC所成的角的大小． 点E为正方体的棱BC的中点，F为上的点，并且．求面与