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角速度张量及其应用 钟奉俄 （西安矿业学院，西安 710054） 摘要 本文用旋转张量表示绕定点转动的刚体的角速度，给出计算刚体绕体轴系列，固定轴系列或体轴与固定轴交叉出现的一系列转动时其合成运动的角速度的统一公式。 关键词 旋转张量，角速度张量，刚体 绕定点转动的刚体的角速度有多种表示方法，其中用矢量表示的角速度，具有直观的优点，而且复合运动的合成角速度矢量就等于分转动角速度矢量之和，计算很简单、但是对绕一系列空间固定轴转动来说，由于不具有复合运动的性质，绕空间固定轴的分转动角速度矢量之和就不等于合成运动的角速度矢量，只有通过“交换定理”变为绕体轴系列的复合运动才可以按矢量和求合成运动的角速度矢量。角速度矢量对空间轴系列和结体轴系列的这种不一致性，是由角速度的矢量表示决定的。它是通过刚体上点的线速度的分解与合成导出的，取决于这一系列转动能否看成复合运动。但从另一方面看，刚体角速度在本质上是一个张量。只有张量才能完全反映它的性质，包括对空间轴系列和结体系列合成转动的一致性。 1.旋转张量 设刚体绕轴（为单位矢量）转动，转角为，则有限转动张量为 （1） 其中为单位张量；为并矢。旋转张量完全由和转角决定。 以矢径和分别表示刚体上一点在刚体转动前后的两个位置（图1），则 （2） 或 （3） 式中，是的转置，因为是正交张量，所以也是之逆。 图1 2.用基矢量表示旋转张量 若以和分别表示固定坐标系和结体坐标系的基矢量列阵，并设开始时结体坐标系与重合，绕轴转过角后到达位置，则有 （4） 而 （5） 分别是在基和基上的坐标方阵；是单位方阵；分别是在基上的坐标列阵和反对称方阵，即 ， （6） 因为p是转轴上的单位矢量，所以 ， （7） 比较（5）中两式，考虑到（7）式，因而有 （8） 即旋转张量在基和基上有相同的坐标方阵，又因为 （9） 对上式前点乘以列阵，则有 （10） 是基对基的方向余弦矩阵。将（10）式代入（4）式，得 （11） 或 （，2，3） （11） （下标相同求和）即由到的有限转动张量可用刚体转动前后的连体基的并矢式表示. 3.角速度张量 利用（2）、（3）式，刚体上任一点的速度可表示成 （12） 令 （13） 并称其为角速度张量，则有 （14） 又由于（是单位张量），所以 （15） （16） 即是反对称张量（式中一撇表示张量转置）.以记在基上的坐标元素，则有 （17） （18） 4.角速度的张量表示与矢量表示的关系 设是反对称张量的全体，是矢量的全体。它们都是实数域上的三维线性空间。显然，由到的映射 （19） 是同构的。式中是排列符号。的系数是失量在基上的坐标，即 （20） 因而 （21） ，是任何实数。 对一切反对称张量和任何旋转张量积仍为一反对称张量。而且根据映射定义（19）式，有 （22） 即 （23） 这表明角速度张量及其对应的角速度矢量随坐标系同时转动。这一结果为计算提供了方便。 5.合成转动的角速度 设刚体绕、方向轴转动的旋转张量依次为，，则合成转动的旋转张量 （24） 因而合成转动的角速度张量 （25） 5.1设和为结体轴系，则由（11）式有 （26） 因为（25）式中的导数是对定系的，所以 （27） 令，它表示相对基的时间导数，因而就是相对的角速度张量，可记作，而，（27）式中的是标量，可以任意移动其位置，因而 （28） 将（28），（29）式代入（27）式，计算，得