初二数学教案摄影定理的推广与应用.docVIP

射影定理的推广及应用 　　射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。 一、射影定理 　　射影定理　直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ?AD、ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ。（证明略） 二、变式推广 　　１．逆用　　如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ?ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ?ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。 　　　　（证明略） 　　２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2）） 　　　如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ?AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ?ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。 　　　　　　　（证明略） 三、应用 例１　如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ?ＤＡ＝ＢＣ２ 分析：　易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ?ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。 （证明略） 　　例２　如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，求ＤＣ。 　　分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ?ＤＢ，易求得ＤＣ＝８ 　　(解略) 例3　已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ， 　　　　求证：ＤＦ２＝ＣＦ?ＢＦ。 　　　　证明：连ＡＦ，　∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，　 　　　　　　∴ＦＡ＝ＦＤ，　∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ， 　　　　　　∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ， 　　　　　　∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， 　　　　　　∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ， 　　　　　　∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC公共， 　　　　　　∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴＝， ∴ＡＦ２＝ＣＦ?ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ?ＢＦ。 例4　　如图（6），已知⊙Ｏ中，ＡＢ 为直径，△ＡＢＣ内接于圆，AE =AC ,连BE 交圆于点F ，求证：∠ACF ＝∠AED 。 分析：由条件易知，△ＡＢＣ为直角三角形，ＣＤ为高，由射影定理有AC 2=ＡＤ?ＡＢ，又AE=AC ，故有AE 2=ＡＤ?ＡＢ，满足射影定理变式（2）条件，易得结论成立。 例5　已知：如图（7），直线y=x+3交x轴于点Ａ，交y轴于点Ｂ，以点Ｍ（４，０）为圆心，ＭＢ为半径作⊙Ｍ交ＡＢ的延长线于Ｄ，与y轴交于另一点Ｃ 　　　（！）求点Ｄ的坐标。 　　　（２）连ＡＣ、ＭＤ、ＣＤ，ＣＤ交x轴于Ｅ，求证：△ＡＣＥ≌△ＤＭＥ。 　　　（３）若Ｐ为弧ＢＣ上任一点时（图8），ＰＥ的延长线交Ｍ于Q,点，问当点Ｐ在弧ＢＣ（不含端点Ｂ、Ｃ）上运动时，ＡＰ?ＡＱ的值地否改变？试证明你的结论。 略解：（１）作ＤＮ⊥x轴于Ｎ，运用割线定理及相似三角形的性质，可得Ｄ的坐标为（，）。 　　（2）法1：由△ＣOE∽△DNE，通过计算有EM＝EC， 　　　　　　　　　　ＡE＝DE，又∠ＡＥＣ＝∠ＤＥＭ， 　　　　　　　　　　∴△ＡＣＥ≌△ＤＭＥ。　　　　　　　　 　　　　法2：连BM，∵∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＤ， 　　　　　　　　　　∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ＋∠ＢＤＣ，　　　　 　∴∠ＡＣＥ＝∠ＢＤＣ＋２∠ＢＣＤ， 　　　　　　　　　　∵∠ＢＤＣ＝∠ＢＭＥ，　∠ＤＭＢ＝２∠ＢＣＤ， 　∴∠ＡＣＥ＝∠ＤＭＥ，　又∠ＡＥＣ＝∠ＤＥＭ，ＤＭ＝ＡＣ＝５ ∴△ＡＣＥ≌△ＤＭＥ 　　（３）ＡＰ?ＡＱ的值为定值。 连MP, ∵△ＡＣＥ≌△ＤＭＥ，∴∠ＣＡＥ＝∠ＭＤＥ， ∴△ＡＭＤ∽△ＤＭＥ， ∴ＤＭ２＝ＭＥ?ＭＡ，　∵ＭＰ＝ＭＤ， ∴ＭＰ２＝ＭＥ?ＭＡ，　∴△ＭＰＥ∽△ＭＡＰ， ∴∠ＭＰＥ＝∠ＥＡＰ，