常用的巧算和速算方法.docVIP

常用的巧算和速算方法 【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。例如著名的大 数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为 所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100 =101×100÷2 =5050。 又如，计算“3+5+7+………＋97+99=？”，可以计算为 所以，3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2= 2499。 这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。张丘建 利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题： “今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。 问织几何？” 题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些， 并且减少的数量都相等。她第一天织了 5 尺布，最后一天织了 1 尺，一共织了 30 天。问她一共织了多少布？ 张丘建在《算经》上给出的解法是： “并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。”“答曰：二匹一丈”。 这一解法，用现代的算式表达，就是 1 匹=4 丈，1 丈=10 尺， 90 尺=9 丈=2 匹 1 丈。（答略） 张丘建这一解法的思路，据推测为： 如果把这妇女从第一天直到第 30 天所织的布都加起来，算式就是 5＋…………＋1 在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要 递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。 若把这个式子反过来，则算式便是 1+………………＋5 此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个 相同的数。同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。 假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等” 这一特点，那么，就会出现下面的式子： 所以，加得的结果是 6×30=180（尺） 但这妇女用 30 天织的布没有 180 尺，而只有 180 尺布的一半。所以，这妇 女 30 天织的布是 180÷2=90（尺） 可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。 【分组计算】一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可 以使它很快地解答出来。例如 求 1 到 10 亿这 10 亿个自然数的数字之和。 这道题是求“10 亿个自然数的数字之和”，而不是“10 亿个自然数之和”。 什么是“数字之和”？例如，求 1 到 12 这 12 个自然数的数字之和，算式是 1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1+1＋2=5l。 显然，10 亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也 极费时间（很多年都难于算出结果）的。怎么办呢？我们不妨在这 10 亿个自然 数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，但不会改变计算的结果。然后，将 它们两两分组： 0 和 999，999，999；1 和 999，999，998； 2 和 999，999，997；3 和 999，999，996； 4 和 999，999，995；5 和 999，999， 994； ……… ……… 依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000 以外，其他的自然数与 添上的 0 共 10 亿个数，共可以分为 5 亿组，各组数字之和都是 81，如 0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=81 1+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81 ……………… 最后的一个数 1，000，000，000 不成对，它的数字之和是 1。所以，此题 的计算结果是 （81×500，000，000）＋1 =40，500，000，000＋1 =40，500，000，001 【由小推大】“由小推大”是一种数学思维方法，也是一种速算、巧算技巧。 遇到有些题数目多，关系复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题 目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。例如： （1）计算下面方阵中所有的数的和。 这是个“100×100”的大方阵，数目很多，关系较为复杂。不妨先化大为小， 再由小推大。先观察“5×5”的方阵，如下图（图 4.1）所示。 容易看到，对角线上五个“5”之和为 25。 这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图 4.2 那样拼 接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是 25。所以，“5×5”方阵的 所有数之和为 25×5=125，即 53=125。 于是，很容易推出大的数阵“100×100”的方阵所有数之和为 1003=1，000， 000。 （2）把自然数中的偶数，像图 4.3 那样排成五列。最左边的叫第一列，按 从左到右的顺序，其他叫第二、第三……第五列。那么 2002 出现在哪一列： 因为从 2 到 2002，共有偶数 2002÷2=1001（个）。从前到后，是每 8 个偶 数为一组，每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列，后