高中数学_数学归纳法应用举例教学课件设计.ppt

数 学 归 纳 法 的应用 一、什么叫数学归纳法？ 对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： 先证明当n取第一个值n0时命题成立； 2.然后假设当n=k(k?N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 这种证明方法就叫做数学归纳法。 递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。 二、数学归纳法的步骤： （二个步骤，一个结论） 例1　用数学归纳法证明　 类型一 证明等式问题 证明： （1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立。 （2）假设当n=k时，等式成立，即 这就是说，当n=k+1时等式也成立。 ——————————————————————— —————— ———————————————————————————————— 提公因式 ————————————— 配方 根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立。 由(1)和(2)可知,等式对于任何n∈N*都成立。 (2)假设当n=k时,等式成立，即 1+2+22+…+2k-1 =2k-1 那么，1+2+22+…+2k-1 +2k=2k-1 + 2k =2× 2k-1 =2k+1-1 所以当n=k+1时，等式也成立。 1+2+22+…+2n-1=2n-1 (n∈N*) 变式训练： 用数学归纳法证明 类型二 证明整除问题 ————— ——————— ————— — — 注:先增项、后减项是证明整除问题的常用技巧. 变式训练:用数学归纳法证明: 能被8整除. 证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立. (2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即 是8的倍数. 那么: 因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是8的 倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除. ____________ D 类型三 证明不等式问题 由“n=k”变到“n=k+1”时，不等式左边的变化是（ ）： 用数学归纳法证明下面不等式 (n≥2,n∈N )过程中, 例3、 变式训练: 用数学归纳法证明上面问题 即当n=k+1时,不等式也成立. 由(1)、(2)原不等式对一切 都成立. 则当n=k+1时,我们有: (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有: 证:(1)当n=2时, 左边= 不等式 成立. _____________ 这节课学到了什么？ 1、数学归纳法的应用： （1）恒等式； （2）整除性； （3）不等式。 2、数学归纳法的应用难点： 如何由假设n=k命题成立（当做已知），推导出n=k+1时命题成立。 （与自然数有关的命题） (1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项； (2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项； (3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项； (4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同? 左边增加两项:_____________ 右边增加两项: __________,减少一项:________ 作业： 一、必做题 1、用数学归纳法证明下式