高三数学角的概念及任意角的三角函数教案1(理科一轮).docVIP

课题 §4.1 角的概念及任意角的三角函数 内容归纳 一．知识精讲 ㈠角的概念和弧度制 角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。其中顶点，始边，终边称为角的三要素。角可以是任意大小的。 角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。 在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。（注意前提条件，否则不能从终边的位置来判断某角属于第几象限）。⑵若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 与角终边相同的角的集合： 注：①终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同； ②终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍。 正确理解角：“间的角”指的是：；“第一象限的角”，“锐角”，“小于的角”，这三种角的集合分别表示为： ，，。 6．弧度制 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。任一已知角的弧度数的绝对值。 这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。 比值与所取圆的半径大小无关，而仅与角的大小有关。 7．弧度与角度的换算：1800=π（弧度），1弧度=（180/π）0≈57018＇。 8．弧长公式，扇形的面积公式：，。 ㈡任意角的三角函数 定义：设是任意大小的角。角的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，那么角的6个三角函数分别为：（略） 定义域，值域。三角函数值在每个象限的符号。 二．重点、难点：任意角的概念和任意三角函数的定义； 三．思维方式: 四．特别注意： 问题讨论 例1．给出下列命题，其中正确的是 （1）弧度角与实数之间建立了一一对应（2）终边相同的角必相等 （3）锐角必是第一象限角 （4）小于900的角是锐角 （5）第二象限的角必大于第一象限角 A （1） B （1）（2）（5） C（3）（4）（5） D（1）（3） 【思维点拨】正确理解角：“间的角”指的是：；“第一象限的角”，“锐角”，“小于的角”，这三种角的集合分别表示为： ，，。 例2：已知α是第二象限的角 指出α／2所在的象限，并用图象表示其变化范围；4 若α同时满足条件|α+2|≤4，求α的取值区间。 解：依题意，2kπ+π/2＜α＜2kπ+π（k∈Z） 以kπ+π/4＜α/2＜kπ+π/2（k∈Z），若k为偶数，则α/2是第一象限的角；若k为奇数，则α/2是第三象限的角；其变化范围如图中的阴影部分所示（不含边界） 因为|α+2|≤4，所以－6≤α≤2，即α∈（2kπ+π/2，2kπ+π） ∩[－6，2]，结合数轴不难知道，α∈（－3π/2，－π）∪（π/2，2。 【思维点拨】除象限角、终边相同的角以外，还要注意理解区间角的概 念，并能掌握好α角的取值范围与2α、α/2角的取值范围间的相互关系。 例2：(1)已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上， 终边经过点，求的值. (2)已知角β的终边在直线y=x上，用三角函数的定义求sinβ与cot β的值。 解：（1）由已知可得r=|OP|=，所以sinα=，cosα=。从而sin2α=2sinαcosα=，cos2α= cos2α-sin2α=，故=sin2αcos+cos2αsin=。 （2）设P（a，a），（a≠0）是角β终边=x上一点，则cotβ=。 若a＜0，则β是第三象限的角，r＝－2a，此时sinβ=； 若a＞0，则β是第一象限的角，r＝2a，此时sinβ=； 【思维点拨】1）注意用三角函数的定义解题；2）有参数时应分类讨论。 例3：（1）确定lg（cos6－sin6）的符号； （2）若+=0，判断cos（sinα）?sin（cosα）的符号。 解：（1）∵6是第四象限的角，∴cos6＞0，sin6＜0，故cos6－sin6＞0； ∵（cos6－sin6）2=1-2sin6cos6＞1，∴cos6－sin6＞1，∴lg（cos6－sin6）＞0 （2）由题意可得=0，∴sinα?cosα＜0，故α在第二或第四象限。 若α在第二象限，则0＜sinα＜1，-1＜cosα＜0，∴cos（sinα）＞0， sin（cosα）＜0；∴原式＜0。 若α在第四象限，则-1＜sinα＜0，0＜cosα＜1，∴cos（sinα）＞0， sin（cosα）＞0；∴原式＞0。 【思维点拨】判断角所在的象限是解决此类问题的关键。对于用弧度制表示的角不好判定所在象限时，可转化成用度来表示。 例4：P(51_)例1:(1)若是第二象限的角,则 的符号是什么? (2) 已知，，求的范围。 解：设2α-β=A（α+β）+B（α-β），（A，B为待定系数），则2α-β=（A+B）α+（A