高三数学空间向量及应用考点17教案(理科二轮).docVIP

课时考点17 空间向量及其应用 高考考纲透析： 线线,线面,面面的平行与垂直,空间角与距离,棱柱,棱锥,球,空间向量 高考热点： 异面直线所成的角,直线和平面平行,垂直的判定与性质,两个平面垂直的判定与性质,直线和平面所成的角,二面角及其平面角,点到平面的距离 知识整合: 用空间向量可以解决的立体几何问题有: ㈠利用两个向量共线的条件和共面向量定理,可以证明有关线线平行,线面平行,面面平行问题 ㈡利用两个向量垂直的充要条件可以证明有关线线,线面,面面垂直问题 ㈢利用两个向量的夹角公式可以求解有关角的问题 ㈣利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关的距离问题 热点题型1　求异面直线所成的角 已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，，，，，，求异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示） [解]由题意AB∥CD,∴∠C1BA是异面直线BC1与DC 所成的角.连结AC1与AC,在Rt△ADC中,可得AC=. 又在Rt△ACC1中,可得AC1=3. 在梯形ABCD中,过C作CH∥AD交AB于H, 得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB=. 又在Rt△CBC1中,可得BC1=, 在△ABC1中,cos∠C1BA=,∴∠C1BA=arccos 异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos 另解:如图,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在 直线为x、y、z轴建立直角坐标系. 则C1(0,1,2),B(2,4,0), ∴=(－2,－3,2), =(0,－1,0),设与所成的角为θ, 则cosθ==,θ= arccos. 异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos 热点题型2　求直线与平面所成的角 如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC． (Ⅰ)求证∥平面 (Ⅱ) 求直线与平面PBC所成角的大小； 解：方法一： (Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC中点， (Ⅱ) 方法二： 热点题型3 二面角及点到面的距离的求法 如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. （Ⅰ）求证AE⊥平面BCE； （Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小； （Ⅲ）求点D到平面ACE的距离. （I） （II）连结AC、BD交于G，连结FG，∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC，∠FGB为二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=， 在直角三角形BCE中，CE= 在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中， ∴二面角B-AC-E为 （III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACB的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离所以D到平面的距离为 另法：过点E作交AB于点O. OE=1. ∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD. 设D到平面ACE的距离为h， 平面BCE， ∴点D到平面ACE的距离为 解法二： （Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图. 面BCE，BE面BCE， ， 在的中点， 设平面AEC的一个法向量为， 则 解得 令得是平面AEC的一个法向量. 又平面BAC的一个法向量为， ∴二面角B—AC—E的大小为 （III）∵AD//z轴，AD=2，∴， ∴点D到平面ACE的距离 样题4 如图，已知长方体，，直线与平面所成的角为，垂直于为的中点． 　（Ⅰ）求异面直线与所成的角； （Ⅱ）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小； （Ⅲ）求点到平面的距离 解法一：（向量法） 在长方体中，以所在直线为轴，所在直线为轴，　所在直线为轴建立空间直角坐标系如图． 　　　　由已知，可得． 　　　　又平面，从面与平面所成的角即为 　　　　又 　　　　从而易得 　　　　（Ⅰ） 　　　　　　　 　　　即异面直线、所成的角为 （Ⅱ）易知平面的一个法向量 　　　设是平面的一个法向量． 　　　由　　　 　　　取 ∴ 即平面与平面所成二面角（锐角）大小为 （Ⅲ）点A到平面BDF的距离，即在平面BDF的法向量上的投影的绝对值 所以距离 　 所以点A到平面BDF的距离为 解法二：(几何法) （Ⅰ）连结，过F作的垂线，垂足为K， ∵与两底面ABCD，都垂直， ∴ 又 因此 ∴为异面直线与所成的角 连结BK，由FK⊥面得， 从而 为 在