陕西省高等数学竞赛试题答案.docx

精选 一．选择题 （ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分） (1) (A) x2 解：由 lim sin t 2 dt lim 2 xsin x 4 lim 2x 5 知，当且仅当 n 6 时， 0 n x nxn 1 x 0 nxn 1 x 0 x 0 此极限为非零的有限实数，故选 (A) . (B). 解：(C)，(D) 中 F ( x) 在 x 0 处不连续， (A),(B) 中只有 (B) 符合 F ( x) f ( x)，故选 (B). (3) (B). 解：由解的形式 y xex x 及方程的右端项，知对应齐次微分方程的 特征方程有二重根 r1 r2 1，a 1，其通解为 ( C1 C2x)ex . 又方 程有特解 x，于是得 b 1， c 2. 故选 (B) . (4) (C). 解：由 f ( x) 的连续性得 a 2，从而 f (0) lim e2 x 2x 1 2，选 (C) . 2 x 0 x ( D ) 解：对 ( 1)n an2，其一般项满足 ( 1)n an2 an2 1 ，此级数绝对 n 1 n2 收敛，故选 (D) . (A). 解：由 x 4 , 3 可知 0 cos x ，故 ln(cos x) ln(sin x) ， sin x 1 0 因此 I2 I1 ，选 (A) . 0 (7) (C). 2 2 3 2 2 15 解：积分得 2 x 3x 6 y 3y 0，即 2( x 4 ) 3( y 1) 8 ，故为双曲 柱面，选 (C). (8) (D). F F F 解：由隐函数求偏导数的公式 z x , x y , y z , x F y F z F z x y 欢迎下载 精选 得 z x y x y 1，选 (D) . z 二 ．填空题 （ 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 ） 1 . 解 ： ( x 1) 1 ( x 1) 1 2 2 1 f (1) x x x 1 sin x2 ln x (x 1) sin x2 ln x (x 1) sinx2 ln x (x 1) 1 x 1 解 ： f (1) lim f (x) f (1) lim 1 sin xln x . 2 x 1 x2 1 x 1 x 1 (10) (x 1)y . 解： z 2y3 yln x x 1 y, 2 z 6y3 y y x x3 x x2 x4 x x2 z 3y2 (x 1)lnx ， 2 z 6y y x2 y2 x2 x 2 2 z y 2 2 z 6y3 xy y 6y3 (x 1)y. x2 y2 x2 x2 1 . 6 解：设 1 f (x)d x ，即有 2a f (x) ，两边从 0 到 1 积分得 0 a x 0 2a a 1 ， a 1 f (x)d x 1 2 6 . 0 0 ( 12) 0 a 1 . (n 1) 2 解：由题设知级数的收敛半径 R ，因此 lim a lim a2 n 1 0， n 2 n a n 故 0 a 1. (13) xy2 sin x C . 解：原方程是全微分方程，可化为 d x sin x y2 x sin x d y2 0， 即 d xy2 sin x 0，因此所求的通解为 xy 2 sin x C， C 为任意常数 . 注：除凑微分法外，也可用线积分、偏积分等方法求解。 欢迎下载 精选 (14) 80 . 解：积分曲线 L 分别关于 x 轴、 y 轴、直线 y x 及 y x 为轴对称，因此 xy d s 0. y C(1,1) L B(2,1) 又 x2 y2 关于 x 与 y 为轮换对称，故取积分路径 的第一象限中的折线 OA(2,0) x L1 : A(2,0) B(2,1) C(1,1)B(2,1) ( x2 2xy y2 )d s 8 ( x2 y2 )d s L L1 8 1 ( y 2 22 )d y 2 1 . ( x2 12 )d x 61 0 1 3 三．解答题 证及解： I 0 ex sin 2 x cos2 x d x 0 2 ex sin 2 xcos2 x d x 2 1 e x 1 x e 0 ex sin2 x cos2 x d x 令x t 0 e t sin2 t cos2 t dt 2 1 x 2 1 e t e 0 2 sin2 x cos2 x d x 1 e x I 2 sin 2 xcos2 x d x 2 ex sin2 xcos2 x d x 0 x x 1 e 0 1 e 2 sin2 x cos2 x d x........