高三数学平面的基本性质.docVIP

高三数学第一轮复习讲义（56） 2004.11.29 平面的基本性质 一．复习目标：掌握平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图． 二．课前预习： 1．、、表示不同的点，、表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ ） ，直线 ，且不共线与重合 选 2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ） 选 3．对于空间三条直线，有下列四个条件： ①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行； ③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交． 其中，使三条直线共面的充分条件有 （ ） 1个 2个 3个 4个 选 4．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 个平面 ． 答案：7个． 三．例题分析： αDCBAEFHG例1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E α D C B A E F H G 解：∵AB∥CD， ∴AB，CD确定一个平面β． 又∵ABα＝E，ABβ，∴E∈α，E∈β， 即E为平面α与β的一个公共点． 同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点． ∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E，F，G，H四点必定共线． 说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论． 例2．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面． 证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A， αbadcG α b a d c G F E A a b c d α H K 图1 图2 ∴直线d和A确定一个平面α． 又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G， 则A，E，F，G∈α． ∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα． 同理可证bα，cα． ∴a，b，c，d在同一平面α内． 2o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2． ∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α． 设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α． 又 H，K∈c，∴cα． 同理可证dα． ∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内． 说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义． E·BA D·FC ····例3．如图，点A，B，C确定的平面与点D，E，F确定的平面相交于直线l，且直线AB与l相交于点 E · B A D · F C · · · · 解：如图3，在平面ABC内，连结AB，与l相交于点G， 则G∈平面DEF；在平面DEF内，连结DG，与EF相交于 点M，则M∈平面ABD，且M∈平面CEF．所以，M在 E·BAl图3GHD· E · B A l 图3 G H D · F C M · · · 平面ABD与平面CEF的交线上．连结MN，直线MN即为所求． αDCBAlβM例4．如图，已知平面α，β，且αβ＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB， α D C B A l β M 证明 ∵梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰． ∴ AB，CD必定相交于一点， 设ABCD＝M． 又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈αβ． 又∵αβ＝l，∴M∈l， 即AB，CD，l共点． 说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的． 四．课后作业： 班级 学号 姓名 1．在空间四边形的边、、、上分别取点，如果与相交于一点，那么 （ ） 一定在直线上 一定在直线上