高一数学必修1（人教版）同步练习第三章第一节函数与方程.docVIP

2011-2012学年高一数学必修1（人教版）同步练习第三章 第一节函数与方程 一. 教学内容： 函数与方程 二. 考纲要求 5、函数与方程 （1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 （2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。 6、函数模型及其应用 （1）指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 【典型例题】 （一）函数与方程部分 例1、求函数的零点。 分析：函数的零点，就是方程的实数根。 解析： 解即 ∴函数的零点为－3，1，2。 点评：求三次函数的零点关键是因式分解，而三次函数是容易进行分解因式的或者是已经分解好的。 例2、若函数的定义域是一切实数，求实数a的取值范围。 分析：恒大于等于零的条件是 解析：∵a≠0 ∴对一切实数x，不等式0恒成立。 解得 点评：这是与定义域有关的逆向思维问题，即先知道了函数的定义域然后求字母范围，最后转化为含字母系数的一元二次不等式恒成立的问题。 例3、借助计算机或计算器用二分法求函数在区间（2，3）内的零点。（精确到0.1） 分析：使用计算器或计算机，最好使用几何画板软件，画出函数图象，数形结合，用二分法去求函数零点的近似值，同时注意精确度要求。 解析：利用计算机作出函数f(x)的图象如图所示。，取区间（2，3）的中点，则，∴函数f(x)的零点（2，2.5），再取区间（2，2.5）的中点，则，则（2.125，2.5），同理（2.3125，2.5），（2.3125，2.4062），（2.3125，2.3593），由于|2.3593－2.3125|=0.04680.1，∴取，即函数在区间（2，3）内的零点近似值为2.3。 点评：用二分法求出函数的零点近似值，进而求出相应方程根的近似值，是求方程根近似值的常用方法。 例4、借助计算机或计算器，利用二分法求下列各组函数图象交点的横坐标（精确到0.1） （1）； （2）。 分析：首先在同一坐标系中画出各组函数图象，直观地观察交点位置，然后再转化为用二分法求函数的零点的近似值。 解析：（1）在同一坐标系中作出与的图象，如下图所示。 令，借助计算机画出的图象，如下图所示。 ∴函数h(x)的零点（0，1） 取区间（0，1）的中点，算得， （0.5，1） 同理，可得（0.5，0.75），（0.625，0.75），（0.625，0.685）。 由于， 所以函数精确到0.1的零点为0.7， 即函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标的近似值为0.7。 （2）仿照（1）可得出两函数图象交点的横坐标的近似值为3.2。 点评：求方程的根等价于函数的零点，也等价于求函数与函数的图象的交点的横坐标。 例5、已知二次函数在区间［－1，1］内至少存在一个实数c，使，则实数p的取值范围是（ ） A、（，1） B、（－3，） C、（－3，） D、（，） 分析：因涉及至多、至少的问题，故可从命题的否定入手，再求补集。 解析：二次函数在区间［－1，1］内至少存在一个实数c，使的否定是对于区间［－1，1］内的任意一个x都有 即 整理得： 解得：或。 ∴二次函数在区间［－1，1］内至少存在一个实数c，使的实数p的取值范围是。故选C。 点评：直接求符合条件的p的取值范围要分很多种情况，运算量比较大；考虑到其否定只有一种情况，可以先求不合题意的p的取值范围，再取其补集。 （二）函数的应用 例1、（2005天津）设是定义在R上以6为周期的函数，在（0，3）内单调递减，且的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是（ ） A、 B、 C、 D、 剖析：本小题考查函数知识的综合应用。 答案：B 解析：， 又在（0，3）上单调递减， ∴。故选B 点悟：熟练掌握函数的基本性质是解决这类问题的关键。 例2、有lm长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形。试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体算出窗框面积的最大值。 剖析：本小题考查函数的实际应用。 解析：设小矩形长为x，宽为y，则由图形条件可得l。 ∴9y=l－（11+π）x 要使窗所通过的光线最多，即要窗框面积最大，则 ∴当， 即时（实际上x：y=18：（22－π）1：1）， 此时窗框面积S有最大值。 。 点悟：正确建立目标函数，选择合理求解方法是关键。 例3、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的