高一数学必修1含绝对值不等式的解法.docVIP

学科：数学 教学内容：含绝对值不等式的解法 【自学导引】 1．绝对值的意义是：. 2．｜x｜＜a(a＞0)的解集是｛x｜－a＜x＜a｝． ｜x｜＞a(a＞0)的解集是｛x｜x＜－a或x＞a｝． 【思考导学】 1．|ax＋b|＜b(b＞0)转化成－b＜ax＋b＜b的根据是什么？ 答：含绝对值的不等式|ax＋b|＜b转化－b＜ax＋b＜b的根据是由绝对值的意义确定． 2．解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么？ 答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同． 【典例剖析】 ［例1］解不等式2＜｜2x－5｜≤7． 解法一：原不等式等价于 ∴即 ∴原不等式的解集为｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝ 解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集 (Ⅰ) (Ⅱ) 不等式组(Ⅰ)的解集为｛x｜＜x≤6｝ 不等式组(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜｝ ∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝ 解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集． (Ⅰ)2＜2x－5≤7 (Ⅱ)2＜5－2x≤7 不等式(Ⅰ)的解集为｛x｜＜x≤6｝ 不等式(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜｝ ∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜或＜x≤6｝． 点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转 化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三． ［例2］解关于x的不等式： (1)｜2x＋3｜－1＜a(a∈R)； (2)｜2x＋1｜＞x＋1． 解：(1)原不等式可化为｜2x＋3｜＜a＋1 当a＋1＞0，即a＞－1时，由原不等式得－(a＋1)＜2x＋3＜a＋1 －＜x＜ 当a＋1≤0,即a≤－1时，原不等式的解集为， 综上，当a＞－1时，原不等式的解集是｛x｜－＜x＜ 当a≤－1时，原不等式的解集是． (2)原不等式可化为下面两个不等式组来解 (Ⅰ)或(Ⅱ) 不等式组(Ⅰ)的解为x＞0 不等式组(Ⅱ)的解为x＜－ ∴原不等式的解集为｛x｜x＜－或x＞0｝ 点评：由于无论x取何值，关于x的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f(x)｜＜a(a≤0)的解集为． 解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如(1)对变量分类，解集必须合并如(2)． ［例3］解不等式|x－|2x＋1||＞1． 解：∵由|x－|2x＋1||＞1等价于(x－|2x＋1|)＞1或x－|2x＋1|＜－1 (1)由x－|2x＋1|＞1得|2x＋1|＜x－1 ∴ 即均无解 (2)由x－|2x＋1|＜－1得|2x＋1|＞x＋1 ∴或 即，∴x＞0或x＜－ 综上讨论，原不等式的解集为{x|x＜－或x＞0}． 点评：这是含多重绝对值符号的不等式，可以从“外”向“里”，反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解． 【随堂训练】 1．不等式|8－3x|＞0的解集是( ) A． B．R C．{x|x≠，x∈R} D．{} 答案： C 2．下列不等式中，解集为R的是( ) A．｜x＋2｜＞1 B．｜x＋2｜＋1＞1 C．(x－78)2＞－1 D．(x＋78)2－1＞0 答案： C 3．在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( ) A．｛x｜－2＜x＜2 B．｛x｜0＜x≤2 C．｛x｜－2≤x≤2｝ D．｛x｜x≥2或x≤－2｝ 解析： 所求点的集合即不等式｜x｜≤2的解集． 答案： C 4．不等式｜1－2x｜＜3的解集是( ) A．｛x｜x＜1 B．｛x｜－1＜x＜2 C．｛x｜x＞2｝ D．｛x｜x＜－1或x＞2｝ 解析： 由｜1－2x｜＜3得－3＜2x－1＜3，∴－1＜x＜2 答案： B 5．不等式｜x＋4｜＞9的解集是__________． 解析： 由原不等式得x＋4＞9或x＋4＜－9，∴x＞5或x＜－13 答案： ｛x｜x＞5或x＜－13 6．当a＞0时，关于x的不等式｜b－ax｜＜a的解集是________． 解析： 由原不等式得｜ax－b｜＜a，∴－a＜ax－b＜a ∴－1＜x＜＋1 ∴｛x｜－1＜x＜＋1 答案： ｛x｜－1＜x＜＋1｝ 【强化训练】 1．不等式｜x＋a｜＜1的解集是( ) A．｛x｜－1＋a＜x＜1＋a B．｛x｜－1－a＜x＜1－a C．｛x｜－1－｜a｜＜x＜1－｜a｜ D．｛x｜x＜－1－｜a｜或x＞1－｜a｜｝ 解析： 由｜x＋a｜＜1得－1＜x＋a＜1 ∴－1－a＜x＜1－a 答案： B 2．不等式1≤｜x－3｜≤6的解集是( ) A．｛x｜－3≤x≤2或4≤x≤9｝ B．｛x｜－3≤x≤9｝ C．｛x｜－1≤x≤2