金融经济学导论-补充练习及参考答案-给学生－2021.docVIP

PAGE PAGE 1 附录：补充练习题目及参考答案 1. 假设1期有两个概率相等的状态和。1期的两个可能状态的状态价格分别为和。考虑一个参与者，他的禀赋为()。其效用函数是对数形式 问：他的最优消费／组合选择是什么？ 解答：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是。他的最优化问题是 其一阶条件为： 给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正，即所有状态价格严格为正。在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这些约束(以及对应的乘子)而直接求解最优。因此，。对于我们立即得到如下解： , , 把的解代人预算约束，我们可以得到的解： 最后，我们有 , , 可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。状态价格高的状态下的消费更昂贵。结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。 2. 考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态和。经济的参与者有1和2，他们具有的禀赋分别为： ， 两个参与者都具有如下形式的对数效用函数： 在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。试分析这个经济的均衡。 解答：考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态和。经济中 有参与者1和2，他们具有的禀赋分别为： 两个参与者都具有如下形式的对数效用函数： 在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。 现在我们开始分析这个经济的均衡。从给定交易证券价格下参与者的最优化问题开始。记为状态价格(向量)，即两个状态或有证券的价格。我们可以定义每个参与者的财富为，这里；而是他的禀赋。这时，最优化问题变成了： 该问题的解为 , , 这里而。 均衡由市场出清决定。有两个交易证券，每一市场都应该出清： 均衡价格的解为和。参与者2的财富为。因此，参与者2和参与者1的财富相同，尽管他们的禀赋非常不同。均衡配置是。这并不奇怪。给定他们具有相同的偏好和财富，他们的消费计划也应该相同。 现在让我们来看看均衡配置。对于每个参与者，他的相对边际效用为 这对于两个参与者来说是一样的。 3．一个投资者有本金，可以投资的钱数在0到之间，如果投资了，则会以概率获益，以损失。如果，投资者的效用函数是对数的，则投资者应该投入多少？ 解：设投入金额是，，投资者的投资结果记为，它等于或，出现这两种结果的概率分别是，，它们的期望效用为： 。 为求出的最优值，对上式关于求导 得： 。 令上式等于0，得： 或 。 所以投资者每次都应投资他现有财富的。例如，如果获利的概率，则投资者应该投资全部财富的20%。如果，他应该投资40%。（当时，容易证明最优投资数量为0。） 4．一家公司在未来的5年中需要一种特定型号的机器。这家公司当前有1台这种机器，价值6000美元，未来3年内每年折旧2000美元，在第三年年末报废。该机器开始使用后第一年运转费用在该年年初值为9000美元，之后在此基础上每年增加2000美元。在每年的年初可以按固定价格22000美元购买1台新机器。1台新机器的寿命是6年，在最初使用的两年中每年折旧3000美元，这之后每年折旧4000美元。新机器在第一年的运转成本是6000美元，在随后的每年中将增加1000美元。如果利率为10%，公司应在何时购买新机器？ 解：这家公司可以在第1、2、3、4年的年初购买新机器，其对应的六年现金流如下（以1000美元为单位）： 在第一年的年初购买新机器：22，7，8，9，10，-4； 在第二年的年初购买新机器：9，24，7，8，9，-8； 在第三年的年初购买新机器：9，11，26，7，8，-12； 在第四年的年初购买新机器：9，11，13，28，7，-16。 为了验证上面所列现金流的正确性，假设公司将在第三年的年初购买新机器，则公司在第一年的成本为旧机器9000美元的运转成本；在第二年的成本为旧机器11000的运转成本；在第三年的成本为新机器22000的购买成本，加上6000美元的运转成本，再减去从替换机器中得到的2000美元；在第四年的成本是7000美元的运转成本；在第五年的成本是8000美元的运转成本；在第六年的成本是-12000美元，它是已经使用了三年的机器价值的负值。其他的三个现金流序列可以通过相似的