2021_2022学年新教材高中数学课时性评价十二第二章一元二次函数方程和不等式2.2第2课时基本不等式的应用含解析新人教a版必修第一册.doc

PAGE 十二　基本不等式的应用 【基础全面练】　(25分钟　50分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．已知ab0，全集为R，集合M＝{x|bx eq \f(a＋b,2) }，N＝{x| eq \r(ab) xa}，P＝{x|bx≤ eq \r(ab) }，则M，N，P满足(　　) A．P＝M∩(RN) B．P＝(RM)∩N C．P＝M∪N D．P＝M∩N 【解析】选A.由ab0结合基本不等式可得，a eq \f(a＋b,2) eq \r(ab) b，故P＝M∩(RN). 2．若直角三角形面积为18，则两条直角边的和的最小值是(　　) A．3 eq \r(2) B．6 C．6 eq \r(2) D．12 【解析】选D.设直角三角形的两直角边分别为a，b， 因为直角三角形面积为18，即ab＝36， 所以两条直角边的和a＋b≥2 eq \r(ab) ＝12， 当且仅当a＝b＝6时取等号， 所以两条直角边的和的最小值是12. 【加固训练】 将本题条件改为“周长为 eq \r(2) ＋1”，求直角三角形面积的最大值． 【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b， 则 eq \r(2) ＋1＝a＋b＋ eq \r(a2＋b2) ≥2 eq \r(ab) ＋ eq \r(2ab) ， 解得ab≤ eq \f(1,2) ，当且仅当a＝b＝ eq \f(\r(2),2) 时取等号， 所以直角三角形面积S≤ eq \f(1,4) ，即S的最大值为 eq \f(1,4) . 3．已知x＞0，y＞0且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　) A．16 B．25 C．9 D．36 【解析】选B.(1＋x)(1＋y)≤ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(（1＋x）＋（1＋y）,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2＋（x＋y）,2))) eq \s\up12(2) ＝＝25，当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25. 4．已知正数a，b满足a＋b＝1，则 eq \f(b,a) ＋ eq \f(1,b) 的最小值为(　　) A． eq \f(1,2) B．1 C．2 D．3 【解析】选D.根据题意，正数a，b满足a＋b＝1， 则 eq \f(b,a) ＋ eq \f(1,b) ＝ eq \f(b,a) ＋ eq \f(a＋b,b) ＝ eq \f(b,a) ＋ eq \f(a,b) ＋1≥2 eq \r(\f(b,a)×\f(a,b)) ＋1＝3， 当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2) 时，等号成立，故 eq \f(b,a) ＋ eq \f(1,b) 的最小值为3. 【加固训练】 已知p0，q0，p＋q＝1，且x＝p＋ eq \f(1,p) ，y＝q＋ eq \f(1,q) ，则x＋y的最小值为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 【解析】选B.由p＋q＝1， 所以x＋y＝p＋ eq \f(1,p) ＋q＋ eq \f(1,q) ＝1＋ eq \f(1,p) ＋ eq \f(1,q) ＝1＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)＋\f(1,q))) (p＋q)＝1＋2＋ eq \f(q,p) ＋ eq \f(p,q) ≥3＋2 eq \r(\f(q,p)·\f(p,q)) ＝5， 当且仅当 eq \f(q,p) ＝ eq \f(p,q) 即p＝q＝ eq \f(1,2) 时取等号， 所以B选项是正确的． 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知x0，y0，且x＋3y＝1，则 eq \f(x＋y,xy) 的最小值是________． 【解析】 eq \f(x＋y,xy) ＝ eq \f(1,y) ＋ eq \f(1,x) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(1,x))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋3y)) ＝4＋ eq \f(x,y) ＋ eq \f(3y,x) ≥4＋2 eq \r(\f(x,y)·\f(3y,x)) ＝4＋2 eq \r(3) ， 当且仅当 eq \f(x,y) ＝ eq \f(3y,x) ， 即x＝ eq \f(\r(3)－1,2) ，y＝ eq \f(3－\r(3),6) 时等号成立． 所以 eq \f(x＋y,xy) 的最小值为4＋2 eq \r(3) . 答案：4＋2 eq \r(3) 6．(2021·广州高一检测)某公司