2021_2022学年新教材高中数学课时性评价十一第二章一元二次函数方程和不等式2.2第1课时基本不等式含解析新人教a版必修第一册.doc

PAGE 十一　基本不等式 【基础全面练】　(20分钟　40分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．已知m0，n0，且m＋n－2 eq \r(3) ＝0，则mn的最大值是(　　) A．1 B． eq \r(3) C．2 D．3 【解析】选D.由题意得，mn≤＝＝3， 当且仅当m＝n时取等号，所以mn的最大值是3. 2．(2021·唐山高一检测)已知正数a，b满足ab＝10，则a＋2b的最小值是(　　) A．2 eq \r(10) B．3 eq \r(5) C．3 eq \r(10) D．4 eq \r(5) 【解析】选D.因为正数a，b满足ab＝10，则a＋2b≥2 eq \r(2ab) ＝2 eq \r(20) ＝4 eq \r(5) ，即a＋2b≥4 eq \r(5) ，当且仅当a＝2b＝2 eq \r(5) 时，取等号，故a＋2b的最小值为4 eq \r(5) ，故选D. 3．(2021·南通高一检测)函数y＝x＋ eq \f(16,x＋2) (x－2)取最小值时x的值为(　　) A．6 B．2 C． eq \r(3) D． eq \r(6) 【解析】选B.因为x－2，所以x＋20， 所以y＝x＋ eq \f(16,x＋2) ＝x＋2＋ eq \f(16,x＋2) －2 ≥2 eq \r(（x＋2）·\f(16,x＋2)) －2＝6，当且仅当x＋2＝ eq \f(16,x＋2) 且x－2，即x＝2时等号成立． 【加固训练】 不等式 eq \f(9,x－2) ＋(x－2)≥6(其中x2)中等号成立的条件是(　　) A．x＝3 B．x＝6 C．x＝5 D．x＝10 【解析】选C.由基本不等式知等号成立的条件为 eq \f(9,x－2) ＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去). 4．(2021·扬州高一检测)当x0时，函数y＝ eq \f(2x,x2＋1) 有(　　) A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2 【解析】选B.因为x0， 所以y＝ eq \f(2x,x2＋1) ＝ eq \f(2,x＋\f(1,x)) ≤ eq \f(2,2\r(x·\f(1,x))) ＝1， 当且仅当x＝ eq \f(1,x) ，即x＝1时，等号成立． 即y＝ eq \f(2x,x2＋1) 有最大值1. 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知x1，且x－y＝1，则x＋ eq \f(1,y) 的最小值是________． 【解析】由题得x＝y＋11，所以y0. 所以x＋ eq \f(1,y) ＝y＋1＋ eq \f(1,y) ＝y＋ eq \f(1,y) ＋1≥2 eq \r(y·\f(1,y)) ＋1＝3，(当且仅当y＝1时取等号)所以函数的最小值为3. 答案：3 【加固训练】 函数y＝1－2x－ eq \f(3,x) (x0)的最小值为________． 【解析】因为x0，所以y＝1－2x－ eq \f(3,x) ＝1＋(－2x)＋≥1＋2 eq \r(（－2x）·\f(3,－x)) ＝1＋2 eq \r(6) ，当且仅当x＝－ eq \f(\r(6),2) 时取等号，故y的最小值为1＋2 eq \r(6) . 答案：1＋2 eq \r(6) 6．已知abc，则 eq \r(（a－b）（b－c）) 与 eq \f(a－c,2) 的大小关系是________． 【解析】因为abc，所以a－b0，b－c0. eq \r(（a－b）（b－c）) ≤ eq \f(a－b＋b－c,2) ＝ eq \f(a－c,2) . 当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立． 所以 eq \r(（a－b）（b－c）) ≤ eq \f(a－c,2) . 答案： eq \r(（a－b）（b－c）) ≤ eq \f(a－c,2) 三、解答题 7．(10分)(2021·合肥高一检测)(1)已知x eq \f(5,2) ，求y＝2x－1＋ eq \f(1,2x－5) 的最大值； (2)求y＝ eq \f(x2＋4,x－1) (x1)的最小值． 【解析】(1)因为x eq \f(5,2) ， 所以2x－50， 所以y＝2x－1＋ eq \f(1,2x－5) ＝2x－5＋ eq \f(1,2x－5) ＋4＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－2x＋\f(1,5－2x))) ＋4≤ －2 eq \r(（5－2x）·\f(1,5－2x)) ＋4＝2， 当且仅当5－2x＝ eq \f(1,5－2x) 时，即x＝2时等号成立． 所以y＝2x－1＋ eq \f(1,2x－5) 的最大值为2； (2)因为x1，