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第2题 复数的两大热点:复数的概念与复数的运算
一、原题呈现
【原题】已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解法一:因为,所以,所以
故选C.
解法二:因为,,故选C.
【就题论题】去年新高考试卷复数考查的是复数的除法运算,考查内容单一,今年把共轭复数与复数的运算结合在一起考查,背景有所创新,为降低难度,把除法运算改为乘法运算,可见新高考试卷入手依然比较容易.
二、考题揭秘
【命题意图】本题考查共轭复数及复数的乘法运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度:容易.
【考情分析】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.
【得分秘籍】
1.解决复数概念问题及复数的几何意义应注意的问题
(1) 复数的分类,复数的相等,复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.
(2) (其中a,b∈R),|z|表示复数z对应的点与原点的距离.|z1-z2|表示两点的距离,即表示复数z1与z2对应的点的距离.
2.求解复数运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简,一般化为a+bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答.
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简,一般化为a+bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答.
(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的.
【易错警示】
(1)对于复数a+bi,如果a,b∈C(或没有明确界定a,b∈R),则不可想当然地判定a,b∈R.
(2)易误认为y轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外).
(3)对于a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件,只注意了a=0而漏掉了b≠0.
(4)进行复数的乘法与除法运算,误认为,导致运算错误
(5)设(a,b∈R),注意,不要出现的错误
三、以例及类
(以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷)
一、单选题
1.(2021广东省珠海市第二中学高三6月热身)若是纯虚数,满足,则复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】A
【解析】,因为复数为纯虚数,
,,解得,所以
因为,所以,即,
所以复数在复平面内对应的点为位于第一象限,故选A.
2.(2021江苏省南京师范大学《数学之友》高三下学期一模)设复数满足(是虚数单位),则等于( )
A. B.5 C. D.7
【答案】A
【解析】设,则,而,
于是,则,
所以.故选A
3.(2021江苏省南通学科基地高三下学期高考全真模拟(四))已知i是虚数单位,复数,若,则a的值为( )
A.1 B.3 C.6 D.9
【答案】C
【解析】复数
∵,∴,化为,,解得,故选C.
4.(2021湖南省衡阳市第八中学高三下学期考前预测(二))已知复数是关于的方程的一个根,则 ( )
A.25 B.5 C. D.41
【答案】C
【解析】因为复数是关于的方程的一个根,所以,所以,所以,所以,则,故选C.
5.(2021江苏省扬州中学高三下学期最后一模)已知,其中为虚数单位,记为的共轭复数,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由,,
,所以,故选B
6.(2021山东省淄博市高三三模)已知,且,为虚数单位,则的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由三角不等式可得,即的最大值为.
故选B.
7.(2021福建省厦门市高三5月二模)已知i为虚数单位,,则( )
A.5 B.7 C.9 D.25
【答案】A
【解析】因为,所以,所以,
故选A.
8.(2021湖南省长沙市雅礼中学高三下学期高考热身训练)已知复数满足,则的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】设,则,,因为,
所以,即,整理得b=0,所以,所以,当a=0时,最小值为2.故选B
9.(2021福建省厦门市双十中学高三高考热身)已知复数对应的向量为(O为坐标原点),与实轴正向的夹角为,且复数的模为2,则复数为( )
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