4-1 微分中值定理与洛必达法则.PPT

中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理 一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、洛必达法则 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 四、洛必达法则（L‘hospital） * 例如, 点击图片任意处播放\暂停 物理解释: 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零. 几何解释: 证 注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立. 例如, 又例如, 例1 证 由介值定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, 几何解释: 证 分析: 弦AB方程为 作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 推论 例2 证 例3 证 由上式得 几何解释: 证 作辅助函数 例4 证 分析: 结论可变形为 定义 例如, 定理 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 证 定义辅助函数 则有 例1 解 例2 解 例3 解 例4 解 例5 解 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解 * *