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关于椭圆离心率求法.pdf

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有这么一个故事 离心率 关于椭圆离心率 2 2 x y 设椭圆 1 (a b 0) 的左、右焦点分别为 F 、F ,如果椭 2 2 1 2 a b 圆上存在点 P,使 F PF 90 ,求离心率 e 的取值范围。 1 2 解法 1:利用曲线范围 设 P (x ,y ),又知 F c F c 1 ( , 0), 2 ( ,0 ) ,则 F P ( x c,y) , F P ( x c ,y) 1 2 由 F PF 90 ,知 F P F P , 1 2 1 2 则 F P F P 0 , 1 2 即 (x c)( x c) y 2 0 得x 2 y 2 c2 将这个方程与椭圆方程联立,消去 y ,可解得 2 2 2 2 2 a c a b x 2 2 a b 但由椭圆范围及 F PF 90 1 2 知 0 x 2 a 2 2 2 2 2 a c a b 2 即0 a 2 2 a b 可得 c2 b 2 ,即 c2 a2 c 2 ,且 c2 a2 c 2 c 从而得 e ,且 e 1 a 2 a 2 所以 , ) e [ 1 2 解法 2 :利用二次方程有实根 由椭圆定义知 2 2 2 |PF | | PF | 2a |PF | |PF | 2 |PF || PF | 4a 1 2 1 2 1 2 经典的,不会那么容易过时 1 有这么一个故事 离心率 又由 F PF 90 ,知 1 2 2 2 2 2 | PF | | PF | |F F | 4c 1 2 1 2 则可得 2 2 | PF || PF |

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