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有这么一个故事 离心率
关于椭圆离心率
2 2
x y
设椭圆 1 (a b 0) 的左、右焦点分别为 F 、F ,如果椭
2 2 1 2
a b
圆上存在点 P,使 F PF 90 ,求离心率 e 的取值范围。
1 2
解法 1:利用曲线范围
设 P (x ,y ),又知 F c F c
1 ( , 0), 2 ( ,0 ) ,则
F P ( x c,y) , F P ( x c ,y)
1 2
由 F PF 90 ,知 F P F P ,
1 2 1 2
则 F P F P 0 ,
1 2
即 (x c)( x c) y 2 0
得x 2 y 2 c2
将这个方程与椭圆方程联立,消去 y ,可解得
2 2 2 2
2 a c a b
x
2 2
a b
但由椭圆范围及 F PF 90
1 2
知 0 x 2 a 2
2 2 2 2
a c a b 2
即0 a
2 2
a b
可得 c2 b 2 ,即 c2 a2 c 2 ,且 c2 a2
c 2 c
从而得 e ,且 e 1
a 2 a
2
所以 , )
e [ 1
2
解法 2 :利用二次方程有实根
由椭圆定义知
2 2 2
|PF | | PF | 2a |PF | |PF | 2 |PF || PF | 4a
1 2 1 2 1 2
经典的,不会那么容易过时 1
有这么一个故事 离心率
又由 F PF 90 ,知
1 2
2 2 2 2
| PF | | PF | |F F | 4c
1 2 1 2
则可得 2 2
| PF || PF |
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