8-1 微分方程的基本概念 - 副本.PPT

第一节 微分方程的基本概念 一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、主要问题----求方程的解 四、小结 思考题 解 一、问题的提出 解 代入条件后知 故有 从开始制动到列车完全停住共需的时间 微分方程: 含有未知函数的导数或微分的等式称为微分方程. 例 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的定义 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶. 一阶微分方程 高阶(n阶)微分方程 分类1: 分类2: 线性与非线性微分方程. 微分方程的解有： 三、主要问题-----求方程的解 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意(独立的)常数的个数与微分方程的阶数相同. 微分方程的解: 定义在区间 上的函数代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为该微分方程在区间 上的解. (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图像: 微分方程的积分曲线. 通解的图像: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 过定点的积分曲线; 一阶: 二阶: 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 例 3 验证 : 函数 kt C kt C x sin cos 2 1 + = 是微分 方程 0 2 2 2 = + x k dt x d 的解 . 并求满足初始条件 0 , 0 0 = = = = t t dt dx A x 的特解 . 解 所求特解为 补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法. 求解微分方程 求积分 (通解可用初等函数或积分表示出来) 微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 通解; 初始条件; 特解; 初值问题; 积分曲线. 四、小结 思考题 思考题解答 中不含任意常数, 故为微分方程的特解. 三、设曲线上点 ) , ( y x P 处的法线与 x 轴的交点为 Q , 且线段 PQ 被 y 轴平分 , 试写出该曲线所满足的微 分方程 . 一、 填空题 : 1 . 0 2 2 = + + y x y y x 是 ______ 阶微分方程； 2. . 0 2 2 = + + c Q dt dQ R dt Q d L 是 ______ 阶微分方程； 3. q r q r 2 sin = + d d 是 ______ 阶微分方程； 4 .一个二阶微分方程的通解应含有 ____ 个任意常数 . 练 习 题 练习题答案 一、 1 . 3 ； 2 . 2 ； 3 . 1 ； 4 . 2. 二、 三、 . 四、