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统计决策理论;关于统计学的一个笑话: ;统计学以数据为研究内容,但仅仅收集数据,决不构成统计学研究的全部。
下面介绍几种最常用、也是最基本的统计决策方法。这些方法是以后各种模式识别方法的基础。;贝叶斯决策理论方法是统计模式识别中的一个基本方法,用这种方法进行分类时要求满足以下两个条件:
(1)各类别总体的概率分布是已知的;
(2)要决策的类别数是一定的。
在连续的条件下,假设要识别的对象有d种特征测量值 ,每一种特征都是一个随机变量,因此组成d维随机向量 , d种特征的所有的取值范围构成了d维特征空间。
;贝叶斯决策理论方法所讨论的问题是:已知总共有c个类别及各类别ωi=1,2,…,c的先验概率P(ωi)及类条件概率密度函数p(x|ωi)已知的条件下,如何对某一样本按其特征向量分类的问题。
由于属于不同类的待识别对象存在着呈现相同观察值的可能,即所观察到的某一样本的特征向量为X,而在c类中又有不止一类可能呈现这一X值,这种可能性可用P(ωi|X)表示。如何作出合理的判决就是贝叶斯决策理论所要讨论的问题。
;;类条件概率密度函数
系统位于某种类型条件下模式样本出现的概率密度分布函数。
男女生比例是男生与女生这两类事物之间的关系,而男生高度的分布则与女生的分布无关。为了强调是同一类事物内部,因此这种分布密度函数往往表示成条件概率的形式。
例如X表示某一个学生的特征向量,则男生的类条件概率密度表示成P(X|男生),女生的表示成P(X|女生),这两者之间没有任何关系,可为从0~1之间的任意值。;;贝叶斯公式
两个事物X与w联合出现的概率称为联合概率,可写成P(X,w),它们又可与条件概率联系起来,即P(X,w)=P(X|w)P(w)=P(w|X)P(X),这就是贝叶斯公式。
如果将上式中各个项与先验概率,类条件概率密度函数以及后验概率联合起来,可以找到利用先验概率,类条件概率分布密度函数计算后验概率的方法。;2.1 Bayes定理;2.1 Bayes定理; 为此必须利用抽取到的d维观测向量。为简单起见,假定d=1,并已知两类的类条件概率密度函数分布,如图所示,其中P(x|ω1)是正??细胞的属性分布,P(x|ω2)是异常细胞的属性分布。;由Bayes公式得到:
式中
于是由先验概率 转化为后验概率 P(ωj|x) 。
如果对待分类模式的特征我们得到一个观察值x,经上式计算出结果 ,则判决X属于 ,反之,属于 。;2.2 Bayes决策; 例1:在细胞的化验中,要区分正常和异常的两种类型,分别用w1和w2表示,已知p(w1)=0.85, p(w2)=0.15,现有一待测细胞,其观测值为X,从类条件概率密度分析曲线上查得p(x/w1)=0.15, p(x/w2)=0.45,试对该细胞进行分类。;所以这次化验的细胞被判断为正常类型细胞。;2.2 Bayes决策;;一般决策表;;;;解:根据风险矩阵表;2.3 分类器的设计;2.3 分类器的设计;;2.3 分类器的设计;
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