如图在平面直角坐标系中已知三角形AOB是等边三角形点A的坐标.pdf

如图，在平面直角坐标系中，已知三角形 AOB 是等边三角形，点 A 的坐标（ 0 ，4 ），点 B 在第 一象限，点 P 是 x 轴上的一个动点，连接 AP ，并把三角形 AOP 绕着点 A 按逆时针方向旋转， 使边 AO 与 AB 重合，得到三角形 ABD （1 ）求直线 AB 的解析式 （2 ）当点 P 运动到点（根号 3 ，0 ），求此时 DP 的长及点 D 的坐标 （3 ）是否存在点 P ，使三角形 OPD 的面积等于（根号 3 ）/4 ，若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解： （1）如图，过点 B 作 BE ⊥y 轴于点 E ，作 BF ⊥x 轴于点 F.由已知得 2 2 BF=OE=2, OF= 4 2 = 2 3 ∴点 B 的坐标是 ( 2 3 ，2) 4 b 设直线 AB 的解析式是 y=kx+b ，则有 2 2 3k b 3 k 解得 3 b 4 3 ∴直线 AB 的解析式是 y= x+4 3 (2) 如图，∵△ ABD 由△AOP 旋转得到， ∴△ABD ≌△ AOP ， ∴AP=AD ， ∠DAB= ∠PAO ，∴∠ DAP= ∠BAO=60 0 ， ∴△ADP 是等边三角形， 2 2 ∴DP=AP= 4 ( 3) 19 . 如图，过点 D 作 DH ⊥x 轴于点 H ，延长 EB 交 DH 于点 G, 则 BG ⊥DH. 在 Rt△ BDG 中，∠ BGD=90 0 , ∠DBG=60 0. y A 0 1 3 D ∴BG=BD ?cos60 = 3 × = . 2 2 0 3 3 E B G DG=BD ?sin60 = 3 × = . 2 2 5 7 O P F H x ∴OH=EG= 3 , DH= 2 2 5 7 ∴点 D 的坐标为 ( 3 , ) 2 2 3 (3)假设存在点 P, 在它的运动过程中 ,使△ OPD 的面积等于 . 4 设点 P 为（ t ，0），下面分三种情况讨论 : 3 y ①当 t ＞0 时，如图， BD=OP=t, DG= t,