《极值点偏移问题的处理策略及探究》.docx

PAGE PAGE 1 极值点偏移问题的处理策略及探究 所谓极值点偏移问题， 是指对于单极值函数， 由于函数极值点左右的增减速度不同， 使 得函数图像没有对称性。若函数 f ( x) 在 x = x0 处取得极值，且函数 y = f ( x) 与直线 y = b 【处理策略】 xe一、不含参数的问题 . xe 交于 A(x , 交于 A(x , b) , B( x ,b) 两点，则 AB 的中点为 M ( x1 + x2 ,b) ，而往往 x 1 2 2 0 x1 + x2 .如下图 2 所示 . 极值点没有偏移 此类问题在近几年高考及各种模考， 作为热点以压轴题的形式给出， 问题经常是束手无策。 而且此类问题变化多样， 有些题型是不含参数的， 很多学生对待此类 而更多的题型又是 含有参数的。 不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决， 参数如何来处理？是否有更方 便的方法来解决？其实， 处理的手段有很多， 方法也就有很多， 我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！ 【问题特征】 f (x) = - x (x R) ，如果 x1 x2 ，且 f ( x1 ) = f ( x2 ) ， 证明： x1 + x2 2. 【解析】 法一： f ( x) = (1- x)e- x ，易得 f (x) 在 ( ,1)上 单 调 递 增 ， 在 (1,+ ) 上 单 调 递 减 ， x 时 ， f ( x) → ， f (0) = 0 ， x → + 时， f (x) → 0 ， 函 数 f (x) 在 x = 1处取得极大值 f (1)，且 f (1) = 1 ,如图所示 . e 由 f (x1) = f (x2 ), x1 x2 ，不妨设 x1 x2 ，则必有 0 x1 1 x2 ， 构造函数 F ( x) = f (1+ x) - f (1- x), x (0,1] ， 则 F ( x) = f (1+ x) + f (1- x) = x ex+1 (e2 x - 1) 0  ，所以 F ( x) 在 x (0,1] 上单调递增， F ( x) F (0) = 0 ，也即 f (1+ x) f (1- x) 对 x (0,1] 恒成立 . 由 0 x1 1 x2 ， 则 1 - x1 (0,1] ， 所以 f (1+ (1- x1 )) = f (2 - x1) f (1- (1- x1)) = f ( x1 ) = f ( x2 ) ，即 f (2 - x1 ) f ( x2 ) ， 又因为 2 - x1 , x2 (1,+ ) ，且 f (x) 在 (1,+ ) 上单调递减， 所 以 2 - x1 x2 ，即证 x1 + x2 2. 法二： 欲证 x1 + x2 2 ，即证 x2 2 - x1 ，由法一知 0 x1 1 x2 ， 故 2 - x1 , x2 (1,+ ) ， 又因为 f ( x) 在 (1,+ ) 上单调递减，故只需证 f ( x2 ) f (2 - x1 ) ，又因为 f ( x1 ) = f ( x2 ) ， 故也即证 f ( x1 ) f (2 - x1 ) ，构造函数 H (x) = f ( x) - f (2 - x), x (0,1) ，则等价于证明 H ( x) 0 对 x (0,1) 恒成立 . 由 H ( x) = f ( x) + f (2 - x) = 1 - x (1- ex e2 x- 2 ) 0 ， 则 H ( x) 在 x (0,1) 上单调递增， 所以 H ( x) H (1) = 0 ，即已证明 H ( x) 0 对 x (0,1) 恒成立，故原不等式 x1 + x2 2 亦成立 . 法三：由 f ( x ) = f ( x ) ，得 x e- x1 = x e- x2 ，化简得 ex2 - x1 = x2 ， 1 2 1 2 1 x不妨设 x2 x x1 ，由法一知， o x1 1 x2 . 令 t = x2 - x1 ， 则 t 0, x2 = t + x1 ，代入 式， 得 et = t + x1 ，反解出 x = t ， 则 x + x = 2 x + t = 2t + t ，故要证： x + x 2 ， 1x 1 et - 1 1 1 2 1 et - 1 1 2 即证： 2t + t 2 ，又因为 et - 1 0 ，等价于证明： 2t + (t -