弹塑性力学-第3章应变状态.docx

弹塑性力学-第 弹塑性力学-第3章应变状态 39 / 2739 / 2739 39 / 2739 / 2739 弹塑性力学-第 弹塑性力学-第3章应变状态 38 / 2738 / 2738 38 / 2738 / 2738 第三章应变状态理论 在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化， 即发生位移。如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置. 则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。如果物体各质 点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变 化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称 为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。应变状态理论就是研究物变形后的 凡何特性。即给定物体内各点变形前后的位置.确定无限接近的任意两点之间所 连矢量因物体变形所引起剧烈变化。这是一个单纯的儿何问题，并不涉及物体变 形的原因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。本章主要从物体变形前 后的儿何变化论述物体内一点的应变状态° 3.1位移与线元长度、方向的变化 1.1坐标与位移 设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴 (X、、XZ )上的投影为(x,y,z),又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上 的投影为(1、w),这些位移分量可看作是坐标(xy.z)的函数。于是物体上任点 的最终位置由下述坐标值决定。即 . ￡ = x + u(x^y9z) 〃 = y + V(X,y.Z) ：= z + ?v(x.y,z) 上式中函数“、卩、*以及它们对坐标(*y,z)的偏导数假设是连续的，则式(3.1-1) 确定了变量(x,y,Z)与的,G之间的关系。因为物体中变形前各点对应看变形后的 各点，因此式(3.1-1)是单值的，所以式(3.1-1)可看成是坐标的一个变换。 如果在(3.1-1)中，假设x = %y =光，则山(3.1-1)式可得如下三个方程 (3.1-2)g = % + ((%.%[) (3.1-2) 6 = z +”(%，%?[)? 式(3.1.2)决定了一条曲线，曲线上各点虬…，在物体变形前为平行于z轴的 直线(X = MQ = )上(图3.1)。由此可见，变形前物体上与坐标轴平行的坐标线， 在变形后的物体上一般将成为曲线。换句话说，如果用没有变形状态的坐标(x,y,z) 末表征物体上各点的位置，到变形终了状态将是曲线坐标；反之，如果用㈤表示各点的坐标，则对已变形物体是笛卡尔坐标，而对于变形前的物体将是曲线 坐标。 由以上可见，描述连续介质变形的方法有上述两种，分别称为Lagrange法Euler 法。Lagrange描述法是用变 形前的坐标3件)做自变 量，而Euler法则是用变形 后的坐标(g辺《)做自变量。 我们采用Lagnmge坐标法。图3.1变形表示法在固体力学中，通常物 体的初始形状、固定情况以 及载荷是一定的，需要确定 的是物体各点的位移 w和应力叫。对于小变形一 般采用Lagrange坐标法；而 对于大变形有时用Eulei 我们采用Lagnmge坐标法。 图3.1变形表示法 1.2变形体的应变 设物体中变形前相距十分近的两点变形后移位至M\N\变形前 的坐标分别为uW(x.y.z) , N(x + d.x, y + dy. z + dz),变形后M，,N，的坐标分别 + + 那么，矢量M市所表示的线元在物体变形 后由矢量淅7疋表示线元。，那么，洲和ATAT■的平方为 (a)(b)MM =dS~ (a) (b) =dS： =d^2 +df]2 +d^2 根据(3.1-1)式，点N?在x方向有 (c)C + = x + dx + u + du (c) 此处血是因两点所产生的增量，将其在(A-.y.z)处展开为Taylor级数，即 du du du d1u W叽」、2 Wu a du = —dx+—Jy +—dz + — {dxY +— (dv)~ +— (dz)° + … (d) dx dy * dz dx^ dy^ dzr 略去(d)式中的高阶微量(dx)2,…，并将(d)式代入(c)式，则可得 弹塑性力学-第 弹塑性力学-第3章应变状态 41 41 / 2741 ! 2741 弹塑性力学-第 弹塑性力学-第3章应变状态 40 / 2740 / 2740 40 / 2740 / 2740 g +火=》+必+ +竺衣+竺内+竺女 dx dy dz (31-3a)巾(3.1-1)式知，S = i + ?所以 (31-3a) =(1 +栏以x + M，y + dx dy 同理可得 (3.l-3b), dv dv dv drj= dx+(} + —)dy + — ex