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怎么利用构造法求数列的通项公式 怎么利用构造法求数列的通项公式 用构造法求数列的通项公式 求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用。 例1:数列{a n }中, a 1=1, a n +1=2a n +1则a n = ( ) A ．2n B ．2n +1 C ．2n -1 D ．2n +1 解法1：a n +1=2a n +1 ∴a n +1+1=2a n +2=2(a n +1) 又a 1+1=2 a n +1+1a n +1 +1}是首项为2公比为2的等比数列 a n +1=2?2=2, ∴a n =2-1, 所以选C 归纳总结：若数列{a n }满足a n +1=pa n +q (p ≠1, q 为常数），则令a n +1+λ=p (a n +λ) 来构造等比数列，并利用对应项相等求λ的值，求通项公式。 例2：数列{a n }中，a 1=1, a 2=3, a n +2=3a n +1-2a n ，则a n = 解：a n +2-a n +1=2(a n +1-a n ) a 2-a 1=2 ∴{a n -a n -1}为首项为2公比也为2的等比数列。 a n -a n -1=2 a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) + +(a 2-a 1) +a 1 显然n=1时满足上式 ∴a n =2-1 小结：先构造{a n -1-a n }等比数列，再用叠加法, 等比数列求和求出通项公式， 例3：已知数列{a n }中a 1=5, a 2=2, a n =2a n -1+3a n -2, (n ≥3) 求这个数列的通项公式。 解： a n =2a n -1+3a n -2 ∴a n +a n -1=3(a n -1+a n -2) 又a 1+a 2=7, {a n +a n -1}形成首项为7，公比为3的等比数列， 则a n +a n -1=7?3………………………① 又a n -3a n -1=-(a n -1-3a n -2) ， a 2-3a 1=-13，{a n -3a n -1}形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列 则a n -3a n -1=(-13) ?(-1) ………………………② n -1n -1 +13?(-1) ①?3+② 4a n =7?3 小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。 例4：设数列{a n }的前项和为S n , 若2a n -2=S n 成立，(1)求证： {a n -n ?2}是等比数列。 (2) 求这个数列的通项公式 证明：(1)当 n =1, b ?a 1-2=(b -1) a 1, ∴a 1=2 又 b ?a n -2n =(b -1) ?S n ………………………① ∴b ?a n +1-2n +1=(b -1) ?S n +1………………………② ②—① b ?a n +1-b ?a n -2n =(b -1) ?a n +1 ∴a n +1=b ?a n +2 当b =2时，有a n +1=2a n +2n ∴a n +1-(n +1) ?2 =2a n +2-(n +1) ?2 =2?(a n -n ?2 又a 1-21-1=1 ∴a n -n ?2 }为首项为1，公比为2的等比数列， a n -n ?2 , ∴a n =(n +1) ?2 小结：本题构造非常特殊， 要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。 例5：数列{a n }满足a 1=3, a n +1=2a n +3?2，则a n = A ．(3n -1) ?2 B ．(6n -3) ?2解： a n +1=2a n +3?2 ∴ a n +12 C ．3(2n -1) ?2=a n 2 D ．(3n -2) ?2 a n +12 3?a n ? 构成了一个首项这，公差为3的等差数列， n ? +(n -1) ?3=3n - a n =2?2n -1?(3n - ) =