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半角的正弦、余弦和正切 半角的正弦、余弦和正切 1/91/ 1/91/ PAGE # 半角的正弦、余弦和正切 （课堂教学实录） 广西防城港市上思县上思中学 ［教者］王春雷 ［点评］凌旭球（中学特级教师） 一、 教学目标 1、 掌握半角公式及推导方法。 2、 理解公式的结构特点和内在联系，能根据己知条件确定公式中的符号。 3、 能熟练、合理地运用公式。 二、 重点、难点分析 重点：Sa，CQ ,八公式的推导、识记及熟练运用。 111 2、 雄点：S’、公式中双重符号的选择、7；三个公式的灵活运用. 三、 教学用具、准备 电脑和投影设备,自制电脑课件。 四、 教学过程设计 （一）复习引入 师：前而我们己经学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，现任让我们一起回忆一下： sin la = 2sin tzcosa cos2tz = cos2 a-sin2 a = 2cos2a-l = l-2sinz a tan2a =山“ （师生合作回答，然后用投影显示） 1一 tair a 评:从复习与新知相关的旧知入手，为探讨新课题作铺垫。 下面，我们一起来看一道习题：cos2a = -,?€（0.—）,求cos4a和cos2q的值. 5 4 （投影显示）我们能利用已学的公式来解这道题吗？ 生：能.用二倍角公式@ 师：那好，下面我们就一起来完成这道題： cos4a = cos|2（2a）l = 2cos2 2a-l = 2x（^）2 T =日 TOC \o 1-5 \h \z 4 c c 、 ［ 2 l + cos2cr + 5 9 cos2a = 2cos~。一1 = cos~ a = =——=— 2 2 10 = COS6Z = ± —V10 10 =＞cosa = —V10 （生集体回答，师板书） 10 评：这道习题的设计，既起到了巩固旧知，又蕴含看准备将新知转化为旧知去硏究的作用。 师：从上面的解题过程，我们可以知道，从单角函数求倍角函数，直接代入公式即可，不 需要考虑值的符号：但是从倍角函数求单角函数，得到的是涉及开方运算的式子，这 时就需要考虑函数值的符号了。 现在，我们再来看另一道习题，已知：cosa = -,a e（0.—） ＞求cos—的值. 5 2 2 （投影显示）我们还能利用已学的公式来直接求解呢？ 评：用这道习题作引子，井用设疑式为新课引入作准备，可使学生明确探索目标，带看任 生：不能。 师：但如果我们把看成上题的2。角，那＜ 角就变成了上题的什么角？ 2 牛:Q角。 师：所以，cos-的值是……（稍作停顿） 2 生：—Vio. 10 师：不错，这就启发我们：如果把二倍角公式中的角换成5,把公式中的。角换成 m角，就得到用单角来表示半角的公式，即“半角公式（师板书课题） 评：新课题以旧知识不能解决的问题来引入是-种好方法，它可激发学生探求新知的 欲望与热情。 （二）新课讲授 1、公式推导 师：下面，我们一起来探讨如何从“二倍角公式”导出“半角公式先探讨如何将公式 变形得出sin：与。角的三角函数关系。 生:if] sin a = 2sin?cosf = 2sin 与[土fl-sin。?],从中解出 sin?. 生: 师：不错，但这个等式太麻烦了，不便于解出sing，能否用更简洁的方法来求解呢？ 2 『ERIE t e ? “a公山? 2。 l-cosa . a 丄 l-cosa 生： 可以利用 cosa = 1 -2sin~ —尊出sin- —= , 从而sm — = = ? 师：（板书）对，但公式中“土”号的确定是关键.是不是两个都要呢？ 生：（稍作讨论后冋答）不是.应根据所在的范围屮正弦的符号来选取. 师：具体的说，就是g角在第一、二象限时取……（稍作停顿） 2 生：+”号。 师：当m角在第三、四象限时取……（稍作停顿） 生：“―”号. 师：如果没有指明E角的范围呢？ 2 生：“土”号都要。 评:师生合作导出半角正弦公式，在教师的主导下，让学生积极主动地探索，依 靠学生自己的思维去获取知识，也顺地解决了 土”号的确定这一关键性问题。 师：很好。下而我们接着来研尤E角的余弦。 2 、 2a 1 /?.（. ，a l + costz .. — a t 11 +cost? TOC \o 1-5 \h \z 生：利用cosa = 2cos 1 得出cos —= ,从而cos — = ± i ? 2 2 2 2 V 2 师：（板书）这里又岀现了 “土”号，请大家参照刚才的方法总结一下. 生：当g角在第一、四象限时取“一”，在第二、三象限时取如果没有指明g角的 2 2 范围时，“士”号两个都要， 评:有了 半角正弦的推导作样板，半角余弦”的导出自然水到渠成. 师：不惜，我们现在已导出了半角的正弦、余弦公