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Dijkstra算法 单源最短路径 Dijkstra算法lpar;单源最短路径rpar; 单源最短路径问题，即在图中求出给定顶点到其它任一顶点的最短路径。在弄清楚如何求算单源最短路径问题之前，必须弄清楚最短路径的最优子结构性质。 一.最短路径的最优子结构性质 该性质描述为：如果P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。下面证明该性质的正确性。 假设P(i,j)={Vi....Vk..Vs...Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P(k,s)，那么P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j) 二.Dijkstra算法 由上述性质可知，如果存在一条从i到j的最短路径(Vi.....Vk,Vj)，Vk是Vj前面的一顶点。那么(Vi...Vk)也必定是从i到k的最短路径。为了求出最短路径，Dijkstra就提出了以最短路径长度递增，逐次生成最短路径的算法。譬如对于源顶点V0，首先选择其直接相邻的顶点中长度最短的顶点Vi，那么当前已知可得从V0到达Vj顶点的最短距离dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}。根据这种思路， 假设存在G=，源顶点为V0，U={V0},dist[i]记录V0到i的最短距离，path[i]记录从V0到i路径上的i前面的一个顶点。 1.从V-U中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中； 2.更新与i直接相邻顶点的dist值。(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}) 3.知道U=V，停止。 /*Dijkstra求单源最短路径 2021.8.26*/ #include #include #define M 100 #define N 100 using namespace std; typedef struct node int matrix[N][M]; //邻接矩阵 int n; //顶点数 int e; //边数 void DijkstraPath(MGraph g,int *dist,int *path,int v0) //v0表示源顶点 { int i,j,k; bool *visited=(bool *)malloc(sizeof(bool)*g.n); for(i=0;i if(g.matrix[v0][i]0i!=v0) dist[i]=g.matrix[v0][i]; path[i]=v0; //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点 } dist[i]=INT_MAX; //若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大 path[i]=-1; visited[i]=false; path[v0]=v0; dist[v0]=0; visited[v0]=true; for(i=1;i int min=INT_MAX; for(j=0;j if(visited[j]==falsedist[j] min=dist[j]; visited[u]=true; for(k=0;k if(visited[k]==falseg.matrix[u][k]0min+g.matrix[u][k] dist[k]=min+g.matrix[u][k]; path[k]=u; void showPath(int *path,int v,int v0) //打印最短路径上的各个顶点 { stack s; int u=v; while(v!=v0) s.push(v); v=path[v]; s.push(v); while(!s.empty()) s.pop(); int main(int argc, char *argv[]) int n,e; //表示输入的顶点数和边数 while(cinnee!=0) int i,j; int s,t,w; //表示存在一条边s-t,权值为w MGraph g; int v0