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专题五 方案设计专题
【考纲与命题规律】
考纲要求
方案设计问题是运用学过的技能和方法,进行设计和操作,然后通过分析计算,证明等,确定出最佳方案的数学问题,一般涉及生产的方方面面,如:测量,购物,生产配料,汽车调配,图形拼接,所用到的数学知识有方程、不等式、函数解直角三角形,概率和统计等知识.
命题规律
方案设计问题应用性比较强,解题时要注重综合应用转化思想,数形结合的思想,方程函数思想及分类讨论等各种数学思想.
【课堂精讲】
例1.手工课上,老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线,并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积(注:不同的分法,面积可以相等)
分析:(1)正方形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,连接HE、EF、FG、GH、HF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形;然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可.(2)正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,O是AC、BD的交点,连接OE、OF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形;然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可.(3)正方形ABCD中,F、H分别是BC、DA的中点,O是AC、BD的交点,连接HF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形;然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可.(4)正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,O是AC的中点,I是AO的中点,连接OE、OB、OF,即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形;然后根据三角形的面积公式,求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可.
解答:根据分析,可得
。
(1)第一种情况下,分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH、△BEF、△CFG、△DHG,
每个最小的等腰直角三角形的面积是:
(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2)
(2)第二种情况下,分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO、△BEO、△BFO、△CFO,
每个最小的等腰直角三角形的面积是:
(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2)
(3)第三种情况下,分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO、△DHO、△BFO、△CFO,
每个最小的等腰直角三角形的面积是:
(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2)
(4)第四种情况下,分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI、△OEI,
每个最小的等腰直角三角形的面积是:
(4÷2)×(4÷2)÷2÷2=2×2÷2÷2=1(cm2).
例2.甲乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品。春节期间两家商场都让利酬宾,其中甲商场所有商品按8折出售,乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折。
设x(单位:元)表示商品原价,y(单位:元)表示购物金额。
(Ⅰ)根据题意,填写下表:(单位:元)
商品价格
购物金额
120
180
200
?260
甲商场
96
144?
160
208
乙商场
120
180
200
242
(Ⅱ)分别就两家商场的让利方式,写出y关于x的函数解析式;
(Ⅲ)春节期间,当在同一商场累计购物超过200元时,哪家商场的实际花费少?
分析:(1)根据两家商场的让利方式分别列式整理即可;(2)甲商场按原价直接乘以0.8,乙商场分0≤x≤200、x200两种情况分别列式即可;(3)求出两家商场购物付款相同的x的值,然后作出判断即可.
解答:
(Ⅰ)
120
180
200
?260
甲商场
96
144
160
208
乙商场
120
180
200
242
(Ⅱ)甲商场:y=0.8x(x>0);
乙商场:当0x200时,y=x;
当x200时,y=200+0.7(x?200)=0.7x+60;
即y={x0.7x+60 x200;
(Ⅲ)∵x200,
∴由0.8x=0.7x+60,得:x=600,
∴当购物金额按原价大于200而小于600元时,在甲商场购物省钱;
当购物金额按原价大于600元时,在两商场花钱一样多;
当购物金额按原价大于600元时,在乙商场购物省钱。
【课堂提升】
1.如图,A.?B两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁,A.?B两个单位到街道的距离AC=48米、BD=24米,A.?B两个单位的水平距离CE=96米,现准备修建一座与街道垂直的过街天桥。
(1)天桥建在何处才能使由A到B的路线最短?
(2)天桥建在何处才能使A.?B到天桥的距离相等?分别在图1、图2中作图说明(不必说明理由)并通过计算确定天桥的具体位置。
2.为更新果树品种,某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育,若
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