北师大版九年级上思维特训(四)有答案：与四边形有关的变换问题-(数学).docxVIP

思维特训(四)　与四边形有关的变换问题 轴对称、平移和旋转是图形的三种基本变换，这些变换往往与特殊的平行四边形相结合，解决相关问题，需要注意图形变换的特征与特殊平行四边形性质的综合应用，还要注意特殊三角形的性质、勾股定理及全等三角形相关知识的渗透． 类型一　与轴对称相关的问题 1．如图4－S－1，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为(　　) A．5eq \r(,5) B．10eq \r(,5) C．10eq \r(,3) D．15eq \r(,3) 图4－S－1 　　　 2．如图4－S－2所示，在矩形ABCD中，∠DAC＝65°，E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′＝________． 图4－S－2 3．如图4－S－3，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E，F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原． (1)当x＝0时，折痕EF的长为________；当点E与点A重合时，折痕EF的长为________． (2)请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x＝2时菱形的边长． 图4－S－3 类型二　与平移相关的问题 4．已知：如图4－S－4，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点(不与点A，D重合)，将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH. (1)求证：∠APB＝∠BPH； (2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论． 图4－S－4 5．如图4－S－5，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′，使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上，连接AA′. (1)判断四边形ACC′A′的形状，并说明理由； (2)在△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，eq \f(AB,AC)＝eq \f(12,13)，求CB′的长． 图4－S－5 6．如图4－S－6①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD＝30°，AD＝1.将△BCD沿射线BD方向平移到△B′C′D′的位置，使B′为BD的中点，连接AB′，C′D，AD′，BC′，如图②. (1)求证：四边形AB′C′D是菱形； (2)四边形ABC′D′的周长为________； (3)将四边形ABC′D′沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形的周长． 图4－S－6 类型三　与旋转相关的问题 7．如图4－S－7，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H. (1)求证：△EDC≌△HFE. (2)连接BE，CH. ①四边形BEHC是怎样的特殊四边形？证明你的结论； ②当AB与BC的比值为________时，四边形BEHC为菱形． 图4－S－7 8．问题情境： 两张矩形纸片ABCD和CEFG完全相同，且AB＝CE，AD＞AB. 操作发现： (1)如图4－S－8①，点D在GC上，连接AC，CF，EG，AG，则AC和CF有何数量关系和位置关系？并说明理由． 实践探究： (2)如图②，将图①中的纸片CEFG以点C为旋转中心逆时针旋转，当点D落在GE上时停止旋转，则AG和GF在同一条直线上吗？并说明理由． 图4－S－8  详解详析 1．B　[解析]如图，作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F.过点G作GG′⊥AB于点G′.∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝10. ∵GG′＝AD＝5，∴E′G＝eq \r(,E′G′2＋GG′2)＝5eq \r(,5). ∴四边形EFGH周长的最小值＝2E′G＝10eq \r(,5).故选B. 2．40°　[解析]∵在矩形ABCD中，∠DAC＝65°，∴∠ACD＝90°－∠DAC＝90°－65°＝25°. ∵将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，∴四边形BCEC′是正方形， ∴∠BEC＝45°. 由三角形外角的性质，得∠BFC＝∠BEC＋∠ACD＝45°＋25°＝70°， 由翻折的性质得∠BFC′＝∠BFC＝70°， ∴∠AFC′＝180°－∠BFC－∠BFC′＝180°－70°－70°＝40°. 3．[解析] (1)当x＝0时，点P与点A重合，则折痕EF为AD的中垂线，满足EF∥AB∥CD；当点E与点A重合时，折痕EF为∠DAB的平分线，从而构造出等腰直角三角形，利用勾股定理求出EF的长．(2)要探究四边形EPFD为菱形，必须始终满足对角线互相平分且DP⊥EF，同时对角线DP≥eq \