凤阳中学高三数学归纳法及其应用举例单元测验卷.docVIP

凤阳中学高三数学归纳法及其应用举例单元测验卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于 A. 1 B.2 C.3 D.0 2.等式12+22+32+…+n2= A.n为任何自然数时都成立；B.仅当n=1，2，3时成立 C.n=4时成立，n=5时不成立；D.仅当n=4时不成立 3.用数学归纳法证明不等式+…+（n≥2,n∈N*)的过程中，由n=k逆推到n=k+1时的不等式左边 A. 增加了1项；　　B.增加了“”，又减少了“” C.增加了2项　 D.增加了，减少了 4.用数学归纳法证明（n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·5·…（2n－1)(n∈N*)时，假设n=k时成立，若证n=k+1时也成立，两边同乘 A.2k+1 B.　　　C. D. 5.证明1++…+ (n∈N*)，假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是 A. 1项 B.k－1项　　　　C.k项 D.2k项 6.上一个n级台阶，若每步可上一级或两级,设上法总数为f(n),则下列猜想中正确的是 A.f(n)=n 　　B.f(n)=f(n－1)+f(n－2) C.f(n)=f(n－1)·f(n－2)　　D.f(n)= 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.凸n边形内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+___________. 8.观察下列式子：1+,1+＜,1+,…则可归纳出：___________. 9.设f(n)=（1+,用数学归纳法证明f(n)≥3.在“假设n=k时成立”后，f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k)·___________. 10.有以下四个命题：（1）2n＞2n+1(n≥3) (2)2+4+6+…+2n=n2+n+2(n≥1) (3)凸n边形内角和为f(n)=(n－1)π(n≥3) (4)凸n边形对角线条数f(n)= (n≥4)．其中满足“假设n=k(k∈N,k≥n0).时命题成立，则当n=k+1时命题也成立.”但不满足“当n=n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的命题序号是___________. 11.用数学归纳法证明（a,b是非负实数，n∈N*)时，假设n=k命题成立之后，证明n=k+1命题也成立的关键是___________. 三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 12.已知an=n∈N*求证：an＜1. 13.平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这n个圆把平面分成了n2－n+2个区域. 14.设f(k)是满足不等式log2x+log2(3·2k－1－x)≥2k－1(k∈N*)的正整数x的个数. （1）求f(k)的解析式； （2）记Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),Pn=n2+n－1（n∈N*）试比较Sn与Pn的大小. 参考答案： 一、1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 二、7.180° 8.1+ 9.(1+ 10.(2)（3） 11.两边同乘以 三、12.证明：(1)当n=1时，a1=＜1，不等式成立. （2）假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即ak=＜1 亦即1+22+33+…+kk＜(k+1)k 当n=k+1时 ak+1= ==()k＜1. ∴n=k+1时，不等式也成立. 由（1）、（2）知,对一切n∈N*，不等式都成立. 13.证明：（1）当n=1时，一个圆把平面分成两个区域，而12－1+2=2，命题成立. （2）假设n=k(k≥1)时，命题成立，即k个圆把平面分成k2－k+2个区域. 当n=k+1时，第k+1个圆与原有的k个圆有2k个交点，这些交点把第k+1个圆分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的区域分成了两部分，因此增加了2k个区域，共有k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2个区域. ∴n=k+1时，命题也成立. 由（1）、（2）知，对任意的n∈N*,命题都成立. 14.解：（1）∵log2x+log2(3·2k－1－x)≥2k－1 ∴,解得2k－1≤x≤2k, ∴f(k)=2k－2k－1+1=2k－1+1 (2)∵Sn=f(1)+f(2)+…+f(n)=1+2+22+…+2n－1+n=2n+n－1 ∴Sn－Pn=2n－n2 n=1时,S1－P1=2－1=1＞0;n=2时，S2－P2=4－4=0 n=3时，S3－P3=8－9=－1＜0;n=4时，S4－P4=16－16=0 n=5时，S5－P5=32－25=7＞0;n=6时，S6－P6=64－36=28＞0 猜想，当n≥5时，Sn