九年级数学上思维特训(十二)有答案：全等与相似的综合应用-(北师大版).docxVIP

思维特训(十二)　全等与相似的综合应用 形状相同的两个图形称为相似图形．若两个图形不仅形状相同，而且大小也相等，则二者是全等图形．全等是相似的特殊情况，全等图形可以看作是相似比为1的特殊的相似图形．证明全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”，证明相似的方法有“三边对应成比例的两个三角形相似”“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”“两角分别相等的两个三角形相似”等． 类型一　与相似有关的多结论问题 1．如图12－S－1，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边上的中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC于点F，有以下结论： (1)∠DBM＝∠CDE；(2)S△BDE＜S四边形BMFE； (3)CD·EN＝BN·BD；(4)AC＝2DF. 其中正确的结论有(　　) A．1个B．2个C．3个D．4个 图12－S－1 　　　 2．如图12－S－2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE.下列结论中：①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④CD·AE＝EF·CG.其中一定正确的有(　　) 图12－S－2 A．1个B．2个C．3个D．4个 3．如图12－S－3，菱形ABCD中，AB＝AC，E，F分别为边AB，BC上的点，且AE＝BF，连接CE，AF交于点H，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠AHC＝120°；③△AEH∽△CEA；④AE·AD＝AH·AF.其中正确的结论有(　　) 图12－S－3 A．1个B．2个C．3个D．4个 类型二　全等三角形与相似三角形的综合 4．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q. (1)如图12－S－4①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE. (2)如图12－S－4②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝2，CQ＝9时BC的长． 图12－S－4 5．在△AOB中，C，D分别是边OA，OB上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′的位置． (1)如图12－S－5①，若∠AOB＝90°，OA＝OB，C，D分别为OA，OB的中点，求证：①AC′＝BD′；②AC′⊥BD′. (2)如图②，若△AOB为任意三角形且∠AOB＝θ，CD∥AB，AC′与BD′相交于点E，猜想∠AEB＝θ是否成立，请说明理由． 图12－S－5 6．2017·襄阳如图12－S－6，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC，BC的延长线相交，交点分别为E，F，DF与AC相交于点M，DE与BC相交于点N. (1)如图①，若CE＝CF，求证：DE＝DF. (2)如图②，在∠EDF绕点D旋转的过程中： ①探究线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由； ②若CE＝4，CF＝2，求DN的长． 图12－S－6 7．如图12－S－7，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA，GB，GC，GD，EF.若∠AGD＝∠BGC. (1)求证：AD＝BC； (2)求证：△AGD∽△EGF； (3)如图②，若AD，BC所在直线互相垂直，求eq \f(AD,EF)的值． 图12－S－7 类型三　与全等、相似三角形有关的探究型问题 8．在△ABC中，∠ACB＝90°，经过点B的直线l(不与直线AB重合)与直线BC的夹角∠DBC＝∠ABC，分别过点C，A作直线l的垂线，垂足分别为D，E. (1)问题发现 ①若∠ABC＝30°，如图①，则eq \f(CD,AE)＝________； ②若∠ABC＝45°，如图②，则eq \f(CD,AE)＝________． (2)拓展探究 当0°＜∠ABC＜90°，eq \f(CD,AE)的值有无变化？请仅就图③的情形给出证明． (3)问题解决 随着△ABC位置的变化，若直线CE，AB相交于点F，且eq \f(CF,EF)＝eq \f(5,6)，CD＝4，请直接写出线段BD的长． 图12－S－8  详解详析 1．C　[解析]∵DB＝DE， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴∠DBM＋∠MBC＝∠CDE＋∠C. ∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边上的中线， ∴∠C＝45°，BM⊥AC， ∴∠MBC＝∠C＝45°， ∴∠DBM＝∠CDE，故(1)正确； ∵∠DBM