2020高考人教数学(理)大一轮复习检测：第十一章_第一节_坐标系含解析.docVIP

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A级　基础夯实练 1．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点． (1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； (2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程． 解：(1)∵ρcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝1， ∴ρcos θ·coseq \f(π,3)＋ρsin θ·sineq \f(π,3)＝1.∴eq \f(1,2)x＋eq \f(\r(3),2)y＝1. 即曲线C的直角坐标方程为x＋eq \r(3)y－2＝0. 令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝eq \f(2\r(3),3). ∴M(2,0)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3))). ∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，\f(π,2))). (2)∵M，N连线的中点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))， ∴P的极角为θ＝eq \f(π,6). ∴直线OP的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R)． 2．在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求C1，C2的极坐标方程； 解：因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. 3．(2018·安徽合肥二模)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (1)求出圆C的直角坐标方程； (2)已知圆C与x轴交于A，B两点，直线l：y＝2x关于点M(0，m)(m≠0)对称的直线为l′，若直线l′上存在点P使得∠APB＝90°，求实数m的最大值． 解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，故x2＋y2－4x＝0，即圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)l：y＝2x关于点M(0，m)的对称直线l′的方程为y＝2x＋2m，易知AB为圆C的直径，故直线l′上存在点P使得∠APB＝90°的充要条件是直线l′与圆C有公共点，故eq \f(|4＋2m|,\r(5))≤2，于是，实数m的最大值为eq \r(5)－2. B级　能力提升练 4．圆心C的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))，且圆C经过极点． (1)求圆C的极坐标方程． (2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程． 解：(1)圆心C的直角坐标为(eq \r(2)，eq \r(2))，则设圆C的直角坐标方程为(x－eq \r(2))2＋(y－eq \r(2))2＝r2，依题意可知r2＝(0－eq \r(2))2＋(0－eq \r(2))2＝4，故圆C的直角坐标方程为(x－eq \r(2))2＋(y－eq \r(2))2＝4，化为极坐标方程为 ρ2－2eq \r(2)ρ(sin θ＋cos θ)＝0，即ρ＝2eq \r(2)(sin θ＋cos θ)． (2)在圆C的直角坐标方程x2＋y2－2eq \r(2)(x＋y)＝0中，令y＝0，得x2－2eq \r(2)x＝0，解得x＝0或2eq \r(2)，于是得到圆C与x轴的交点坐标(0,0)，(2eq \r(2)，0)，由于直线过圆心C(eq \r(2)，eq \r(2))和点(2eq \r(2)，0)，则该直线的直角坐标方程为y－0＝eq \f(\r(2)－0,\r(2)－2\r(2))(x－2eq \r(2))，即x＋y－2eq \r(2)＝0.化为极坐标方程得ρcos θ＋ρsin θ－2eq \r(2)＝0. 5．(2018·洛阳模拟)在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝1. (1)求曲线C1和C2的公共点的个数． (2)过极点O作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形． 解：(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C2的直角坐标方程为x－eq \r(3)