人教版中考复习数学练习专题三：开放型探索专题(有答案).docVIP

专题三 开放型探索专题 【考纲与命题规律】 考纲要求 开放型比一般综合题更能考查学生的分析、探索能力以及思维的发散、综合运用知识的能力，难度适中，从而深受命题者的青睐，中考题型以填空题、解答题为主，难度一般不是很大． 命题规律 解开放型问题时，一般先观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明，解题的过程中通常要结合分类讨论、数型结合、分析综合，归纳猜想等数型思想方法. 【课堂精讲】 例1如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF． （1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是　　，并证明． （2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由． 分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH， （2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形． 解答：（1）添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH， 在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）； （2）解：∵BH=CH，EH=FH， ∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）， ∵当BH=EH时，则BC=EF， ∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）． 本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定基础题，难度不大 例2.如图2－1－3，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连结EF交OB于点G，则下列结论中正确的是____． ①EF＝eq \r(2)OE；②S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；③BE＋BF＝eq \r(2)OA；④在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝eq \f(3,4)；⑤OG·BD＝AE2＋CF2. 图2－1－3 第4题答图 【解析】 ∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BOF＋∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＋∠BOE＝90°，∴∠BOE＝∠COF，∴△BOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF，BE＝CF，∴EF＝eq \r(2)OE.故①正确； ∵S四边形OEBF＝S△BOE＋S△BOF＝S△BOF＋S△COF＝S△BOC＝eq \f(1,4)S正方形ABCD，∴S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4.故②正确； ∵BE＋BF＝BF＋CF＝BC＝eq \r(2)OA.故③正确； 如答图，过点O作OH⊥BC交BC于点H，∵BC＝1，∴OH＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)，设AE＝x，则BE＝CF＝1－x，BF＝x，∴S△BEF＋S△COF＝eq \f(1,2)BE·BF＋eq \f(1,2)CF·OH＝eq \f(1,2)x(1－x)＋eq \f(1,2)(1－x)×eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(9,32)，∵a＝－eq \f(1,2)＜0，∴当x＝eq \f(1,4)时，S△BEF＋S△COF最大，即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝eq \f(1,4).故④错误； ∵∠EOG＝∠BOE，∠OEG＝∠OBE＝45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE∶OB＝OG∶OE，∴OG·OB＝OE2，∵OB＝eq \f(1,2)BD，OE＝eq \f(\r(2),2)EF，∴OG·BD＝EF2，∵在△BEF中，EF2＝BE2＋BF2，∴EF2＝AE2＋CF2，∴OG·BD＝AE2＋CF2.故⑤正确． 故答案为①②③⑤. 【课堂提升】 1.如图，直线a、b被直线c所截，若满足　，则a、b平行． 2.写出一个运算结果是a6 的算式 ． 3.如图2－1－5，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB.E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.21教育名师原创作品 (1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图①，若∠BCA＝90°，∠α＝90°， 则BE____CF；EF____|BE－AF|(选填“＞”“＜”或“＝”)； ②如图②，若0°＜∠BCA＜