数学分析第二章第2节.ppt

返回 后页 前页 学过数列极限概念后，自然会产生两个 §3 数列极限存在的条件 一、单调有界定理 下面就极限存在性问题, 介绍两个重要定理. 二、柯西收敛准则 理论中占有非常重要的地位. 极限? 其中, 判断数列是否收敛, 这在极限 即极限的存在性问题; 二是如何计算数列的 问题：一是怎么知道一个数列是收敛的? 返回 一、单调有界定理 定理 2.9 单调有界数列必有极限. 证 该命题的几何意义是十分明显的. 单调增，有上界. 由确界定理，存在 由上确界的定义，对于任意的 使 存在 ( ) 例1 证明 收敛，并求 解 这就证明了 由此得到 有上界 2 , 由极限的不等式性, 知道 , 所以 下面再来证明此数列有上界. 于是由 可得 例2 下面的叙述错在哪儿？ 因为显然有 从而得出 由此得 例3 证 定理 2.10 (致密性定理) 有界数列必有收敛的子列. 二、柯西收敛准则 定理 2.11 数列 收敛的充要条件是: 柯西准则的充要条件可用另一种形式表达为： 满足上述条件的数列称为柯西列. 对任意 均有 证 (必要性) 由此推得 时, 有 (充分性)先证明该数列有界 . { an }是柯西列,所以 由柯西收敛准则的否定陈述, 可知 发散. 发散. 证明 例4 证 取 使得 例5 求证 证 例7 证 论上特别有用, 大家将会逐渐体会到它的重要性. 注 柯西收敛准则的意义在于: 可以根据数列通 项本身的特征来判断该数列是否收敛, 而不必依 赖于极限定义中的那个极限值 A. 这一特点在理 作业：1.(1)(3)(5) 3.(1)(3) 5.7.总5. * 返回 后页 前页 *